广东省深圳市罗湖区2022届高三上学期数学期末考试试卷

更新时间：2022-01-28 浏览次数：126 类型：期末考试

一、单选题

1. (2022高三上·罗湖期末) 已知复数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位），则z的共轭复数 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2022高三上·罗湖期末) 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2022高三上·罗湖期末) $\text{[math]}$ 的各项系数和为（）

A . -27 B . 27 C . 16 D . -16

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4. (2022高三上·罗湖期末) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2022高三上·罗湖期末) 为了分析某次考试的情况，随机抽取了若干学生，将其考试成绩分组为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，并绘制成如下图所示的频率分布直方图，据此可估计该次考试成绩的中位数 $\text{[math]}$ ，则整数k的值为（）

A . 99 B . 100 C . 101 D . 102

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6. (2022高三上·罗湖期末) 设实数 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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7. (2022高三上·罗湖期末) 在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为正方形 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2022高三上·罗湖期末) 阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满足 $\text{[math]}$ ，记M的轨迹为C，若与C无公共点的直线l上存在点R，使得 $\text{[math]}$ 的最小值为6，且最大值为10，则C的长度为（）

A . 2π B . 4π C . 8π D . 16π

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二、多选题

9. (2022高三上·罗湖期末) 已知点O是边长为1的正方形ABCD的中心，则下列结论正确的为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2022高三上·罗湖期末) 已知d为等差数列 $\text{[math]}$ 的公差， $\text{[math]}$ 为其前n项和，若 $\text{[math]}$ 为递减数列，则下列结论正确的为（）

A . 数列 $\text{[math]}$ 为递减数列 B . 数列 $\text{[math]}$ 是等差数列 C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 依次成等差数列 D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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11. (2022高三上·罗湖期末) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ ，记M到y轴的距离为d．将满足 $\text{[math]}$ 的M的轨迹记为 $\text{[math]}$ ，且直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于相异的两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的为（）

A . 曲线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ B . 直线l过定点 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . k可能是整数

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12. (2022高三上·罗湖期末) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若将 $\text{[math]}$ 沿AC边上的中线BD折起，使得平面 $\text{[math]}$ 平面BCD．点E在由此得到的四面体ABCD的棱AC上运动，则下列结论正确的为（）

A . $\text{[math]}$ B . 四面体ABCD的体积为 $\text{[math]}$ C . 存在点E使得 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ D . 四面体ABCD的外接球表面积为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2022高三上·罗湖期末) 已知函数 $\text{[math]}$ 的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为 $\text{[math]}$ ．

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14. (2022高三上·罗湖期末) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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15. (2022高三上·罗湖期末) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为双曲线 $\text{[math]}$ 的一个焦点，以 $\text{[math]}$ 为圆心的圆与 $\text{[math]}$ 的两条渐近线交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点，若四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的离心率为．

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16. (2022高三上·罗湖期末) 已知存在实数 $\text{[math]}$ ，使得不等式 $\text{[math]}$ 成立，则实数t的取值范围是．

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四、解答题

17. (2022高三上·罗湖期末) 设 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）若边 $\text{[math]}$ 上的高为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．
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18. (2022高三上·罗湖期末) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．
1. （1）证明：数列 $\text{[math]}$ 是等比数列；
2. （2）记 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的最小值．
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19. (2022高三上·罗湖期末) 已知甲、乙、丙三个研究项目的成员人数分别为20，15，10．现采用分层抽样的方法从中抽取9人，进行睡眠时间的调查．
1. （1）应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取多少人？
2. （2）若抽出的9人中有4人睡眠不足，5人睡眠充足，现从这9人中随机抽取3人做进一步的访谈调研，若随机变量X表示抽取的3人中睡眠充足的成员人数，求X的分布列与数学期望．
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20. (2022高三上·罗湖期末) 如下图所示，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为等边三角形．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若直线AC与平面ABD所成角为 $\text{[math]}$ ，点E在棱AD上，且 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的大小．
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21. (2022高三上·罗湖期末) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上，过点 $\text{[math]}$ 的直线l与C交于M，N两点（异于点A），记直线AM，AN的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求C的方程；
2. （2）证明： $\text{[math]}$ 为定值．
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22. (2022高三上·罗湖期末) 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的单调递增区间；
2. （2）对于 $\text{[math]}$ ，若不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求a的取值范围．
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