湖南省名校联合体2021-2022学年高三上学期数学12月联...

更新时间：2022-03-29 浏览次数：91 类型：月考试卷

一、单选题

1. (2021高三上·湖南月考) 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2021高三上·湖南月考) 若复数 $\text{[math]}$ （i为虚数单位）则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2021高三上·湖南月考) 已知向量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 5

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4. (2021高三上·湖南月考) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -1 B . 1 C . -5 D . 5

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5. (2021高三上·湖南月考) 1859年，英国作家约翰·泰勒（John Taylor，1781-1846）在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用了黄金数（ $\text{[math]}$ ）．泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的形状为正四棱锥，每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方．如图，已知金字塔型正四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面边长约为656英尺，顶点P在底面上的投影为底面的中心O，H为线段BC的中点，根据以上信息， $\text{[math]}$ 的长度（单位：英尺）约为（）

A . 302.7 B . 405.4 C . 530.7 D . 1061.4

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6. (2022·天津市模拟) 函数 $\text{[math]}$ 的图象大致为（）

A . B . C . D .

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7. (2022·河西模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 到焦点的距离为3，准线为l，若l与双曲线 $\text{[math]}$ 的两条渐近线所围成的三角形面积为 $\text{[math]}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2021高三上·湖南月考) 在等比数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -6 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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二、多选题

9. (2021高三上·湖南月考) 已知二项式 $\text{[math]}$ 的展开式中共有8项，则下列说法正确的有（）

A . 所有项的二项式系数和为128 B . 所有项的系数和为1 C . 二项式系数最大的项为第5项 D . 有理项共3项

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10. (2021高三上·湖南月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，将函数 $\text{[math]}$ 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，向上平移2个单位长度，得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，则以下结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的最大值为1 B . 函数 $\text{[math]}$ 的单调递增区间为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的一条对称轴 D . $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的一个对称中心

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11. (2021高三上·湖南月考) 已知圆 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 直线l与圆C的位置关系无法判定 B . 当 $\text{[math]}$ 时，圆C上的点到直线l的最远距离为 $\text{[math]}$ C . 当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时， $\text{[math]}$ D . 如果直线l与圆C相交于M、N两点，则MN的中点的轨迹是一个圆

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12. (2021高三上·湖南月考) 已知图1中，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，A、B、C、D是各边的中点，分别沿着 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 把 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面 $\text{[math]}$ 垂直，再顺次连接 $\text{[math]}$ ，得到一个如图2所示的多面体，则（）

A . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ C . 多面体 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ D . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正切值为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2021高三上·湖南月考) 已知 $\text{[math]}$ 为奇函数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. (2021高三上·湖南月考) 从下图12个点中任取三个点则所取的三个点能构成三角形的概率为．

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15. (2021高三上·湖南月考) 某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为 $\text{[math]}$ ，则该球的半径是．

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16. (2021高三上·湖南月考) 已知 $\text{[math]}$
1. （1）函数 $\text{[math]}$ 的零点个数为个；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围为．
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四、解答题

17. (2021高三上·湖南月考) 已知 $\text{[math]}$ 是等差数列，其前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．
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18. (2021高三上·湖南月考) 已知 $\text{[math]}$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\text{[math]}$ （其中S为 $\text{[math]}$ 的面积）．
1. （1）求角B的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为锐角三角形，且 $\text{[math]}$ ，求a的取值范围．
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19. (2021高三上·湖南月考) 某电视台招聘节目主持人，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为 $\text{[math]}$ ，乙笔试部分每环节通过的概率依次为 $\text{[math]}$ ，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，乙面试部分每个环节通过的概率依次为 $\text{[math]}$ ．若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该电视台的节目主持人．甲、乙两人通过各个环节相互独立．
1. （1）求乙能参与面试的概率；
2. （2）记甲本次应聘通过的环节数为X，求X的分布列以及数学期望．
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20. (2021高三上·湖南月考) 如图，已知四棱台 $\text{[math]}$ 的上、下底面分别是边长为2和4的正方形， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别在棱 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上·
1. （1）若P是 $\text{[math]}$ 的中点，证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求四面体 $\text{[math]}$ 的体积．
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21. (2023·浙江模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）设椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右两个顶点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ 不在 $\text{[math]}$ 轴上，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的另一个交点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的另一个交点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 的左焦点，求证： $\text{[math]}$ 的周长为定值．
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22. (2021高三上·湖南月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，（其中a为非零实数）．
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ （e为自然对数的底数）有两个零点．
  ①求实数a的取值范围；
  
  ②设两个零点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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