北京市门头沟区2022届高三数学一模试卷

更新时间：2022-04-18 浏览次数：52 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2022·门头沟模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2022·门头沟模拟) 复数 $\text{[math]}$ 对应的点在复平面内的（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. (2022·门头沟模拟) 函数 $\text{[math]}$ 的图象与函数 $\text{[math]}$ 的图象关于 $\text{[math]}$ 轴对称，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . 4 D . $\text{[math]}$

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4. (2022·门头沟模拟) 若点 $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 的弦 $\text{[math]}$ 的中点，则直线 $\text{[math]}$ 的方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2022·门头沟模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为坐标原点，过其焦点的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 轴的距离为（）

A . 2 B . 3 C . 5 D . 6

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6. (2022·门头沟模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2022·门头沟模拟) “角 $\text{[math]}$ 的终边关于原点 $\text{[math]}$ 对称”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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8. (2022·门头沟模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的正△ $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2022·门头沟模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的切线，交双曲线右支于 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2022·门头沟模拟) 新型冠状病毒肺炎（ $\text{[math]}$ ）严重影响了人类正常的经济与社会发展．我国政府对此给予了高度重视，采取了各种防范与控制措施，举国上下团结一心，疫情得到了有效控制．人类与病毒的斗争将是长期的，有必要研究它们的传播规律，做到有效预防与控制，防患于未然．已知某地区爆发某种传染病，当地卫生部门于4月20日起开始监控每日感染人数，若该传染病在当地的传播模型为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 表示自4月20日开始 $\text{[math]}$ （单位：天）时刻累计感染人数， $\text{[math]}$ 的导数 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 时刻的新增病例数， $\text{[math]}$ ），根据该模型推测该地区新增病例数达到顶峰的日期所在的时间段为（）

A . 4月30日~5月2日 B . 5月3日~5月5日 C . 5月6日~5月8日 D . 5月9日~5月11日

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二、填空题

11. (2022·门头沟模拟) 在 $\text{[math]}$ 的展开式中， $\text{[math]}$ 的系数为．（用数字作答）

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12. (2022·门头沟模拟) 请举出一个各项均为正数且公差不为 $\text{[math]}$ 的等差数列 $\text{[math]}$ ，使得它的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ 满足：数列 $\text{[math]}$ 也是等差数列，则 $\text{[math]}$ ．

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13. (2022·门头沟模拟) 如图，已知四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面是边长为 $\text{[math]}$ 的菱形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点，给出下列四个结论：
① $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ ；
③直线 $\text{[math]}$ 与底面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ；
④ $\text{[math]}$ 面积的取值范围是 $\text{[math]}$ .
其中所有正确结论的序号是．

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14. (2022·门头沟模拟) 下表记录了某地区一年之内的月降水量.

月份	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
月降水量/mm	58	48	53	46	56	56	51	71	56	53	64	66

根据上述统计表，该地区月降水量的中位数是；80%分位数是．

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15. (2022·门头沟模拟) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 的长为．

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三、解答题

16. (2022·门头沟模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的对称轴，且 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调．
1. （1）从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得 $\text{[math]}$ 的解析式存在，并求出其解析式；
  条件①：函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ；
  条件②： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的对称中心；
  条件③： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的对称中心.
2. （2）根据（1）中确定的 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的值域．
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17. (2022·门头沟模拟) 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京、张家口盛大开幕．为保障本届冬奥会顺利运行，共招募约27万人参与赛会志愿服务．赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、媒体运行与转播服务、场馆运行服务、市场开发服务、人力资源服务、技术运行服务、文化展示服务、赛会综合服务、安保服务、交通服务、其他共12类志愿服务．
1. （1）甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务．已知甲被分配到对外联络服务，求乙被分配到场馆运行服务的概率是多少？
2. （2）已知来自某中学的每名志愿者被分配到文化展示服务类的概率是 $\text{[math]}$ ，设来自该中学的2名志愿者被分配到文化展示服务类的人数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列与期望；
3. （3） 2.7万名志愿者中， $\text{[math]}$ 岁人群占比达到 $\text{[math]}$ ，为了解志愿者对某一活动方案是否支持，通过分层抽样获得如下数据：
  
  $\text{[math]}$ 岁人群
  其它人群
  支持
  不支持
  支持
  不支持
  方案
  90人
  5人
  1人
  4人
  假设所有志愿者对活动方案是否支持相互独立．将志愿者支持方案的概率估计值记为 $\text{[math]}$ ，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为 $\text{[math]}$ ，试比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小．（结论不要求证明）
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18. (2022·门头沟模拟) 如图，在正三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）在侧棱 $\text{[math]}$ 上作出点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，并给出证明；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值及点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离．
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19. (2022·门头沟模拟) 已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，判断函数 $\text{[math]}$ 零点的个数；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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20. (2022·门头沟模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，长轴的右端点为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 分别相交于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 不在直线 $\text{[math]}$ 上.
  ①试证明直线 $\text{[math]}$ 过一定点，并求出此定点；
  ②从点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 垂足为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ 的最小值（结论不要求证明）．
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21. (2022·门头沟模拟) 素数又称质数，是指在大于 $\text{[math]}$ 的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数．早在2000多年前，欧几里德就在《几何原本》中证明了素数是无限的．在这之后，数学家们不断地探索素数的规律与性质，并取得了显著成果．中国数学家陈景润证明了“1+2”，即“表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”，成为了哥德巴赫猜想研究上的里程碑，在国际数学界引起了轰动．如何筛选出素数、判断一个数是否为素数，是古老的、基本的，但至今仍受到人们重视的问题．最早的素数筛选法由古希腊的数学家提出.1934年，一名印度数学家发明了一种素数筛选法，他构造了一个数表 $\text{[math]}$ ，具体构造的方法如下： $\text{[math]}$ 中位于第 $\text{[math]}$ 行第 $\text{[math]}$ 列的数记为 $\text{[math]}$ ，首项为 $\text{[math]}$ 且公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列的第 $\text{[math]}$ 项恰好为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．请同学们阅读以上材料，回答下列问题.
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）证明： $\text{[math]}$ ；
3. （3）证明：
  ①若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 中，则 $\text{[math]}$ 不是素数；
  ②若 $\text{[math]}$ 不在 $\text{[math]}$ 中，则 $\text{[math]}$ 是素数．
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