湖南省长沙市四校联考2021-2022学年高一下学期数学期末...

更新时间：2022-08-17 浏览次数：125 类型：期末考试

一、单选题

1. (2022高一下·长沙期末) 已知复数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是虚数单位，则复数|z|等于（）

A . 3 B . 2 $\text{[math]}$ C . 10 D . $\text{[math]}$

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2. (2022高一下·长沙期末) 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 三点共线，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2022高一下·长沙期末) 在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . 4 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2022高一下·长沙期末) 某校有高一年级学生990人，高二年级学生920人，高三年级学生847人，教职工243人，学校根据疫情形势和所在地疫情防控政策要求，全校师生按比例分层抽样的方法抽取容量为300的样本进行核酸抽测，则应抽取高一年级学生的人数为（）

A . 99 B . 100 C . 90 D . 80

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5. (2022高一下·长沙期末) 设 $\text{[math]}$ 是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，且l与 $\text{[math]}$ 所成的角和m与 $\text{[math]}$ 所成的角相等，则 $\text{[math]}$

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6. (2022高一下·长沙期末) 已知某圆锥的侧面积为 $\text{[math]}$ ，该圆锥侧面的展开图是圆心角为 $\text{[math]}$ 的扇形，则该圆锥的体积为（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2π D . $\text{[math]}$

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7. (2022高一下·长沙期末) 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2022高一下·长沙期末) 对于函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 互为“零点相邻函数”，若函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为“零点相邻函数”，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2022高一下·长沙期末) 在锐角三角形ABC中，A，B，C为三个内角，a，b，c分别为A，B，C所对的三边，则下列结论成立的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则B的取值范围是 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2022高一下·长沙期末) 一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，2个白球，每次从中随机摸出1个球，则下列结论中正确的是（）

A . 若不放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为 $\text{[math]}$ B . 若不放回的摸球2次，则第一次摸到红球的概率为 $\text{[math]}$ C . 若不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为 $\text{[math]}$ D . 若有放回的摸球3次，仅有前2次摸到红球的概率为 $\text{[math]}$

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11. (2022高一下·长沙期末) 在正方体 $\text{[math]}$ 中，棱长为1，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点（包含线段端点），则下列结论正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点时，四棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球表面为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的重心

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12. (2022高一下·长沙期末) 钻石是金刚石精加工而成的产品，是世界上最坚硬的、成分最简单的宝石，它是由碳元素组成的、具有立方结构的天然晶体．如图，已知某钻石形状的几何体由上、下两部分组成，上面为一个正六棱台 $\text{[math]}$ （上、下底面均为正六边形，侧面为等腰梯形），下面为一个正六棱锥P-ABCDEF，其中正六棱台的上底面边长为a，下底面边长为2a，且P到平面 $\text{[math]}$ 的距离为3a，则下列说法正确的是（）
（台体的体积计算公式： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高）

A . 若平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则正六棱锥P-ABCDEF的高为 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则该几何体的表面积为 $\text{[math]}$ C . 该几何体存在外接球，且外接球的体积为 $\text{[math]}$ D . 若该几何体的上、下两部分体积之比为7：8，则该几何体的体积为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2022高二上·长沙月考) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为

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14. (2022高一下·长沙期末) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影数量等于-1，则 $\text{[math]}$ .

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15. (2022高二上·长沙月考) 已知菱形 $\text{[math]}$ 的边长为2， $\text{[math]}$ .将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，使得点 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ 的位置，得到四面体 $\text{[math]}$ .当二面角 $\text{[math]}$ 的大小为120°时，四面体 $\text{[math]}$ 的体积为；当四面体 $\text{[math]}$ 的体积为1时，以 $\text{[math]}$ 为球心， $\text{[math]}$ 的长为半径的球面被平面 $\text{[math]}$ 所截得的曲线在 $\text{[math]}$ 内部的长为.

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16. (2022高二上·长沙月考) 三棱锥 $\text{[math]}$ 中，顶点 $\text{[math]}$ 在底面 $\text{[math]}$ 的射影恰好是 $\text{[math]}$ 内切圆的圆心，若三个侧面的面积分别为12，16，20，底面 $\text{[math]}$ 的最长边长为10，则点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为；三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的直径是.

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四、解答题

17. (2022高一下·长沙期末) 已知 $\text{[math]}$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若____．（请从① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 这三个条件中任选一个填入上空）
1. （1）求角C；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 周长的最大值．
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18. (2022高一下·长沙期末) 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
1. （1）求分数在 $\text{[math]}$ 内的频率，并补全这个频率分布直方图；
2. （2）估计本次考试的第50百分位数；
3. （3）用分层抽样的方法在分数段为 $\text{[math]}$ 的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段 $\text{[math]}$ 内的概率．
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19. (2022高一下·长沙期末) 如图所示，已知在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD是边长为2的菱形， $\text{[math]}$ ，侧棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点A的平面与侧棱PB，PD，PC相交于点E，F，M，且满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：直线 $\text{[math]}$ 平面PAD；
2. （2）求证：直线 $\text{[math]}$ 平面AEMF；
3. （3）求平面MDB与平面AEMF所成二面角的正弦值．
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20. (2022高一下·长沙期末) 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，该摩天轮轮盘直径为120米，设置有36个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面140米，匀速转动一周大约需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.
1. （1）经过 $\text{[math]}$ 分钟后游客甲距离地面的高度为 $\text{[math]}$ 米，已知 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数关系式满足 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ），求摩天轮转动一周的解析式 $\text{[math]}$ ；
2. （2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？
3. （3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为 $\text{[math]}$ 米，求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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21. (2022高一下·长沙期末) 平行四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如图甲所示，作 $\text{[math]}$ 于点E．将△ADE沿着DE翻折，使点A与点P重合，如图乙所示．
1. （1）设平面PEB与平面PDC的交线为l，判断l与CD的位置关系，并证明；
2. （2）当四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积最大时，求二面角 $\text{[math]}$ 的正切值；
3. （3）在（2）的条件下，G、H分别为棱DE，CD上的点，求空间四边形PGHB周长的最小值．
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22. (2022高二上·长沙月考) 已知区间D，若两个函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），则称函数 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 在区间D上的超k倍函数.
1. （1）已知命题“区间 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 在区间D上的超2倍函数”，试判断该命题的真假.若该命题为真命题，请予以证明；若为假命题，请举反例；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的超k倍函数，求实数k的取值范围；
3. （3）已知区间 $\text{[math]}$ ，常数 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 在区间D上的超4倍函数，求实数c的取值范围.
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