北京市石景山区2023届高三数学一模试卷

更新时间：2024-07-13 浏览次数：58 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2023·石景山模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023·石景山模拟) 在复平面内，复数 $\text{[math]}$ 对应的点的坐标为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023·石景山模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率是2，则 $\text{[math]}$ （）

A . 12 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024高三上·北京市期中) 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023·石景山模拟) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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6. (2023·石景山模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足：对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023·石景山模拟) 若函数 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023·石景山模拟) 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）与燃料的质量 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ），火箭（除燃料外）的质量 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）的函数关系是 $\text{[math]}$ ．当燃料质量与火箭质量的比值为 $\text{[math]}$ 时，火箭的最大速度可达到 $\text{[math]}$ ．若要使火箭的最大速度达到 $\text{[math]}$ ，则燃料质量与火箭质量的比值应为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2023·石景山模拟) 已知直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 被圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 所截得的弦长为整数，则满足条件的直线 $\text{[math]}$ 有（）

A . 6条 B . 7条 C . 8条 D . 9条

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10. (2023·石景山模拟) 已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2，点 $\text{[math]}$ 为正方形 $\text{[math]}$ 所在平面内一动点，给出下列三个命题：
①若点 $\text{[math]}$ 总满足 $\text{[math]}$ ，则动点 $\text{[math]}$ 的轨迹是一条直线；
②若点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 与到平面 $\text{[math]}$ 的距离相等，则动点 $\text{[math]}$ 的轨迹是抛物线；
③若点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离与到点 $\text{[math]}$ 的距离之和为2，则动点 $\text{[math]}$ 的轨迹是椭圆.
其中正确的命题个数是（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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二、填空题

11. (2023·石景山模拟) 向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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12. (2023·石景山模拟) 抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点坐标为，若抛物线 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 的纵坐标为2，则点 $\text{[math]}$ 到抛物线焦点的距离为.

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13. (2023·石景山模拟) 若 $\text{[math]}$ 的展开式中含有常数项，则正整数 $\text{[math]}$ 的一个取值为.

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14. (2023·石景山模拟) 设函数 $\text{[math]}$ ， ①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为；②若 $\text{[math]}$ 无最大值，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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15. (2023·石景山模拟) 项数为 $\text{[math]}$ 的有限数列 $\text{[math]}$ 的各项均不小于 $\text{[math]}$ 的整数，满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .给出下列四个结论：
①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；
②若 $\text{[math]}$ ，则满足条件的数列 $\text{[math]}$ 有4个；
③存在 $\text{[math]}$ 的数列 $\text{[math]}$ ；
④所有满足条件的数列 $\text{[math]}$ 中，首项相同.
其中所有正确结论的序号是.

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三、解答题

16. (2023·石景山模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的长；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
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17. (2023·石景山模拟) 某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1，2，3三组.观察一段时间后，分别从1，2，3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.
株高增量（单位：厘米）
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
第1组鸡冠花株数
9
20
9
2
第2组鸡冠花株数
4
16
16
4
第3组鸡冠花株数
13
12
13
2
假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.
1. （1）从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为 $\text{[math]}$ 厘米的概率；
2. （2）分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有 $\text{[math]}$ 株的株高增量为 $\text{[math]}$ 厘米，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望 $\text{[math]}$ ；
3. （3）用“ $\text{[math]}$ ”表示第 $\text{[math]}$ 组鸡冠花的株高增量为 $\text{[math]}$ ， “ $\text{[math]}$ ”表示第 $\text{[math]}$ 组鸡冠花的株高增量为 $\text{[math]}$ 厘米， $\text{[math]}$ ，直接写出方差 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小关系.（结论不要求证明）
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18. (2023·石景山模拟) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的正方形，侧面 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上的点，平面 $\text{[math]}$ 与棱 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的大小.
  条件①： $\text{[math]}$ ；
  条件②：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
  条件③： $\text{[math]}$ .
  注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
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19. (2023·石景山模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且离心率为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 且互相垂直的直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点及 $\text{[math]}$ 两点.求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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20. (2024高三上·湖北开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，
  （ⅰ）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
  （ⅱ）求证： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
2. （2）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恰有一个极值点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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21. (2023·石景山模拟) 若无穷数列 $\text{[math]}$ 满足以下两个条件，则称该数列为 $\text{[math]}$ 数列.
① $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；
②若存在某一项 $\text{[math]}$ ，则存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，写出所有 $\text{[math]}$ 数列的前四项；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 数列是否为等差数列，请说明理由；
3. （3）在所有的 $\text{[math]}$ 数列中，求满足 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 的最小值.
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试卷信息

小学

初中

高中

北京市石景山区2023届高三数学一模试卷

副标题：

*注意事项：

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试题分析

总体分析

题量分析

难度分析

知识点分析

株高增量（单位：厘米）	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
第1组鸡冠花株数	9	20	9	2
第2组鸡冠花株数	4	16	16	4
第3组鸡冠花株数	13	12	13	2