黑龙江大庆市2023届高三数学三模试卷

更新时间：2023-05-22 浏览次数：62 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2023·大庆模拟) 复数 $\text{[math]}$ 的虚部是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023·大庆模拟) 若集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023·大庆模拟) 定义 $\text{[math]}$ ，已知数列 $\text{[math]}$ 为等比数列，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 4 B . ±4 C . 8 D . ±8

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4. (2023·大庆模拟) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . 6 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023·大庆模拟) 已知直线 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的切线，并且点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离是2，这样的直线 $\text{[math]}$ 有（）

A . 1条 B . 2条 C . 3条 D . 4条

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6. (2023·大庆模拟) 如图，在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为底面 $\text{[math]}$ 上一点，若直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 没有交点，则 $\text{[math]}$ 面积的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023·大庆模拟) 函数 $\text{[math]}$ ，则方程 $\text{[math]}$ 解的个数为（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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8. (2023·大庆模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2023·大庆模拟) 已知事件A，B满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若A与B互斥，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则A与B相互独立 D . 若A与B相互独立，则 $\text{[math]}$

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10. (2023·大庆模拟) 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.为研究筒车的运动情况，将筒车抽象为一个以原点为圆心，R为半径的圆，某盛水筒抽象为圆上的点P，如图2.设筒车按逆时针方向每旋转一周用时100秒，当点P位于初始点 $\text{[math]}$ 时记为 $\text{[math]}$ 秒，在筒车旋转t秒的过程中，点 $\text{[math]}$ 的纵坐标满足 $\text{[math]}$ ，则下列叙述正确的是（）

A . 筒车转动的角速度 $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 秒时，点P的纵坐标为-2 C . 当 $\text{[math]}$ 秒时，点P和初始点 $\text{[math]}$ 的距离为4 D . 当 $\text{[math]}$ 秒时，点P距离x轴的最大值为4

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11. (2023·大庆模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，渐近线方程为 $\text{[math]}$ ， M为双曲线E上任意一点， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . 双曲线的离心率为 $\text{[math]}$ B . 双曲线的标准方程为 $\text{[math]}$ C . 点M到两条渐近线的距离之积为 $\text{[math]}$ D . 若直线 $\text{[math]}$ 与双曲线E的另一个交点为P，Q为 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$

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12. (2023·大庆模拟) 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体，若用棱长为4的正四面体 $\text{[math]}$ 作勒洛四面体，如图，则下列说法正确的是（）

A . 平面 $\text{[math]}$ 截勒洛四面体所得截面的面积为 $\text{[math]}$ B . 记勒洛四面体上以C，D为球心的两球球面交线为弧 $\text{[math]}$ ，则其长度为 $\text{[math]}$ C . 该勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值为4 D . 该勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2023·大庆模拟) 曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为.

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14. (2023·大庆模拟) 某校学生参与“保护地球”知识问答活动，满分20分，根据学生的作答成绩绘制的频率分布直方图如图所示，请据此估计学生成绩的第60百分位数为．

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15. (2023·大庆模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，则实数a的取值范围是．

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16. (2023·大庆模拟) 古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果．他发现“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）的点的轨迹是圆”，人们将这样的圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， Q为抛物线 $\text{[math]}$ 上的动点，点Q在直线 $\text{[math]}$ 上的射影为H，M为圆 $\text{[math]}$ 上的动点，若点P的轨迹是到A，B两点的距离之比为 $\text{[math]}$ 的阿氏圆，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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四、解答题

17. (2023·大庆模拟) 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的内切圆半径为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长.
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18. (2023·大庆模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 是一个等差数列；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
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19. (2023·大庆模拟) 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D是 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且三棱柱 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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20. (2023·大庆模拟) 天宫空间站是我国建成的国家级太空实验室，由天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱组成，已经开启长期有人驻留模式，结合空间站的相关知识，某职业学校的老师设计了以空间站为主题的编程训练，训练内容由“太空发射”、“自定义漫游”、“全尺寸太阳能”、“空间运输”等10个相互独立的编程题目组成，训练要求每个学生必须选择两个不同的题目进行编程练习，并且学生间的选择互不影响，老师将班级学生分成四组，指定甲、乙、丙、丁为组长.
1. （1）求甲、乙、丙、丁这四个人中至少有一人选择“太空发射”的概率；
2. （2）记X为这四个人中选择“太空发射”的人数，求X的分布列及数学期望；
3. （3）如果班级有n个学生参与编程训练（其中n是能被5整除的正整数），则这n个学生中选择“太空发射”的人数最有可能是多少人？
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21. (2023·大庆模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为e，且过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点.
1. （1）求椭圆E的方程；
2. （2）若经过 $\text{[math]}$ 有两条直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，它们的斜率互为倒数， $\text{[math]}$ 与椭圆E交于A，B两点， $\text{[math]}$ 与椭圆E交于C，D两点，P，Q分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点.试探究： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之比是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.
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22. (2023·大庆模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 有且仅有一个极值点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）是否存在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的极值点，且满足 $\text{[math]}$ ，若存在，求出所有这样的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；若不存在，请说明理由．
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