上海市重点大学附中2023届高三年级数学毕业考试试卷

更新时间：2023-07-24 浏览次数：53 类型：高考模拟

一、填空题 

1. (2023·上海市模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ 中的最大元素为2，则实数 $\text{[math]}$ .

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2. (2023·上海市模拟) 函数 $\text{[math]}$ 的严格减区间为.

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3. (2024高三上·上海市开学考) 若函数 $\text{[math]}$ 为偶函数，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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4. (2024高三上·上海市开学考) 若某圆锥高为3 ，其侧面积与底面积之比为 $\text{[math]}$ ，则该圆锥的体积为.

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5. (2023·上海市模拟) 已知样本数据 2、4、8、 $\text{[math]}$ 的极差为 10 ，其中 $\text{[math]}$ ，则该组数据的方差为.

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6. (2023·上海市模拟) 在财务审计中，我们可以用 “本・福特定律” 来检验数据是否造假. 本・福特定律指出，在一组没有人为编造的自然生成的数据 (均为正实数) 中，首位非零的数字是 $\text{[math]}$ 这九个事件不是等可能的. 具体来说，随机变量 $\text{[math]}$ 是一组没有人为编造的首位非零数字，
则 $\text{[math]}$ . 则根据本 • 福特定律，首位非零数字是1与首位非零数字是8的概率之比约为 (保留至整数).

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7. (2023·上海市模拟) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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8. (2023·上海市模拟) 若向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不共线也不垂直，且 $\text{[math]}$ ，则向量夹角 $\text{[math]}$ .

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9. (2024高三上·上海市开学考) 已知复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点是 $\text{[math]}$ ，其共轭复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点是 $\text{[math]}$ 是坐标原点，若 $\text{[math]}$ 在第一象限，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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10. (2023·上海市模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的渐近线与圆 $\text{[math]}$ 在第一象限的交点为 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 为坐标原点. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的离心率为.

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11. (2023·上海市模拟) 若项数为10的数列 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 中最大项的最大值为.

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12. (2023·上海市模拟) 若实数 $\text{[math]}$ 使得存在两两不同的实数 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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二、选择题 

13. (2023·上海市模拟) 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题： “今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何?"，该问题中， “善走男” 第5日所走的路程里数为（）

A . 110 B . 120 C . 130 D . 140

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14. (2023·上海市模拟) “ $\text{[math]}$ 表示焦点在 $\text{[math]}$ 轴上的椭圆” 的一个充分非必要条件是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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15. (2023·上海市模拟) 若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量”，已知长方体 $\text{[math]}$ ，下列四组量中，一定能成为该长方体的 “基本量” 的是（）

A . $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的长度 B . $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的长度 C . $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的长度 D . $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的长度

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16. (2023·上海市模拟) 设关于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的表达式 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 取遍所有实数时， $\text{[math]}$ （）

A . 既有最大值，也有最小值 B . 有最大值，无最小值 C . 无最大值，有最小值 D . 既无最大值，也无最小值

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三、解答题 

17. (2023·上海市模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 在以原点 $\text{[math]}$ 为圆心半径等1的圆上，将射线 $\text{[math]}$ 绕原点 $\text{[math]}$ 逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 后交该圆于点 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，纵坐标 $\text{[math]}$ .
1. （1）如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值（用 $\text{[math]}$ 表示）；
2. （2）如果 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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18. (2023·上海市模拟) 如图，矩形AMND所在平面与直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB//NC，MN⊥MB．
1. （1）求证：平面AMB//平面DNC；
2. （2）若MC⊥CB，求证：BC⊥AC．
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19. (2023·上海市模拟) 某科技公司为确定下一年度投入某种产品的研发费，需了解年研发费x（单位：万元）对年销售量y（单位：百件）和年利润（单位：万元）的影响，现对近6年的年研发费 $\text{[math]}$ 和年销售量 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，2，…，6）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
12.5	222	3.5	157.5	16800	4.5	1254	270

表中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）根据散点图判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 哪一个更适宜作为年研发费x的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润 $\text{[math]}$ ，根据（2）的结果，当年研发费为多少时，年利润z的预报值最大？附：对于一组数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ ，其回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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20. (2023·上海市模拟) 贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．
如图所示，抛物线 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为一给定的实数.．
1. （1）写出抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点坐标及准线方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与抛物线只有一个公共点，求实数k的值；
3. （3）如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，
  证明： $\text{[math]}$ ．
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21. (2023·上海市模拟) 设 $\text{[math]}$ 是定义域为 $\text{[math]}$ 的函数，如果对任意的 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均成立，则称 $\text{[math]}$ 是“平缓函数”.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是否为“平缓函数” ?
  并说明理由； (参考公式： $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立)
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 是“平缓函数”，且 $\text{[math]}$ 是以 1为周期的周期函数，
  证明：对任意的 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ ；
3. （3）设 $\text{[math]}$ 为定义在 $\text{[math]}$ 上函数，且存在正常数 $\text{[math]}$ 使得函数 $\text{[math]}$ 为“平缓函数”.
  现定义数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，
  
  试证明：对任意的正整数 $\text{[math]}$ .
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