浙江省杭州市2022-2023学年高一下学期数学期末试题

更新时间：2023-07-28 浏览次数：153 类型：期末考试

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）

1. (2023高一下·杭州期末) 设集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高一下·杭州月考) 若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是虚数单位），则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . 3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023高一下·杭州期末) 军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”1密位就是圆周的 $\text{[math]}$ 所对的圆心角的大小，.若角 $\text{[math]}$ 密位，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024高一下·杭州月考) 已知平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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5. (2023高一上·成都期中) 杭州亚运会火炬如图 $\text{[math]}$ 所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图 $\text{[math]}$ 所示的几何体 $\text{[math]}$ 假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 关于时间 $\text{[math]}$ 的函数的大致图象可能是（）

A . B . C . D .

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6. (2023高一下·杭州期末) 雷峰塔位于杭州市西湖景区，主体为平面八角形体仿唐宋楼阁式塔，总占地面积 $\text{[math]}$ 平方米，项目学习小组为了测量雷峰塔的高度，如图选取了与底部水平的直线 $\text{[math]}$ ，测得 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的度数分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，以及 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点间的距离 $\text{[math]}$ ，则塔高 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023高一下·杭州期末) 已知函数 $\text{[math]}$ （e为自然对数的底数），则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$

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8. (2023高一下·杭州期末) 设函数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 1 B . 3 C . 5 D . 7

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二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）

9. (2023高一下·杭州期末) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于原点对称 B . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于 $\text{[math]}$ 轴对称 C . 函数 $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ D . 函数 $\text{[math]}$ 是减函数

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10. (2023高一下·杭州期末) 如图， $\text{[math]}$ 是正六边形 $\text{[math]}$ 的中心，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为 $\text{[math]}$

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11. 如图，质点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 在单位圆 $\text{[math]}$ 上逆时针作匀速圆周运动 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 同时出发， $\text{[math]}$ 的角速度为 $\text{[math]}$ ，起点位置坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的角速度为 $\text{[math]}$ ，起点位置坐标为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 在 $\text{[math]}$ 末，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ B . 在 $\text{[math]}$ 末，扇形 $\text{[math]}$ 的弧长为 $\text{[math]}$ C . 在 $\text{[math]}$ 末，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在单位圆上第二次重合 D . $\text{[math]}$ 面积的最大值为 $\text{[math]}$

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12. (2024高一下·抚松期中) 圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥 $\text{[math]}$ 的内切球和外接球的球心重合，且圆锥 $\text{[math]}$ 的底面直径为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 设内切球的半径为 $\text{[math]}$ ，外接球的半径为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 设内切球的表面积 $\text{[math]}$ ，外接球的表面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 设圆锥的体积为 $\text{[math]}$ ，内切球的体积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 设 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是圆锥底面圆上的两点，且 $\text{[math]}$ ，则平面 $\text{[math]}$ 截内切球所得截面的面积为 $\text{[math]}$

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. (2023高一下·杭州期末) 设函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. (2023高一下·杭州期末) 将曲线 $\text{[math]}$ 上所有点向左平移 $\text{[math]}$ 个单位，得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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15. (2023高一下·杭州期末) 已知正三棱柱 $\text{[math]}$ 的各条棱长都是2，则直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正切值为；直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为.

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16. (2023高一下·杭州期末) 对于函数 $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的“不动点”.若存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的“稳定点”.记函数 $\text{[math]}$ 的“不动点”和“稳定点”的集合分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ .经研究发现：若函数 $\text{[math]}$ 为增函数，则 $\text{[math]}$ .设函数 $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ 使 $\text{[math]}$ 成立，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）

17. (2023高一下·杭州期末) 在平面直角坐标系中，已知角 $\text{[math]}$ 的顶点与原点 $\text{[math]}$ 重合，始边与 $\text{[math]}$ 轴的非负半轴重合，它的终边过点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若角 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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18. (2023高一下·杭州期末) 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量 $\text{[math]}$ 与时间 $\text{[math]}$ 间的关系为 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 是正常数）.已知在前5个小时消除了10%的污染物.
参考数据： $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值（精称到0.01）；
2. （2）求污染物减少 $\text{[math]}$ 需要花的时间（精确到 $\text{[math]}$ ）？
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19. (2023高一下·杭州期末) 我们把由平面内夹角成 $\text{[math]}$ 的两条数轴 $\text{[math]}$ 构成的坐标系，称为“@未来坐标系”.如图所示， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 正方向上的单位向量.若向量 $\text{[math]}$ ，则把实数对 $\text{[math]}$ 叫做向量 $\text{[math]}$ 的“@未来坐标”，记 $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ 分别为向是 $\text{[math]}$ 的@未来坐标.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若向量 $\text{[math]}$ 的“@未来坐标”分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求向量 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值.
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20. (2023高一下·杭州期末) 在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ .
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积.
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21. (2023高一下·杭州期末) 生活中为了美观起见，售货员用彩绳对长方体礼品盆进行捆扎.有以下两种捆扎方案：方案(1)为十字捆扎(如图(1))，方案(2)为对角捆扎(如图(2)).设礼品盒的长 $\text{[math]}$ ，宽 $\text{[math]}$ ，高 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ .
1. （1）在方案(2)中，若 $\text{[math]}$ ，设平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的交线为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）不考虑花结用绳，对于以上两种捆扎方式，你认为哪一种方式所用彩绳最少，最短绳长为多少 $\text{[math]}$ ？
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22. (2023高一下·杭州期末) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）直接写出 $\text{[math]}$ 的解集；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）已知 $\text{[math]}$ 为正整数，求 $\text{[math]}$ 的最小值（用 $\text{[math]}$ 表示）.
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