湖南省长沙市雅礼教育集团2023-2024学年高二上册数学入...

更新时间：2023-11-14 浏览次数：45 类型：开学考试

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. (2023高二上·长沙开学考) 已知复数 $\text{[math]}$ 是纯虚数，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . －2 B . －1 C . 0 D . 1

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2. (2023高二上·长沙开学考) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023高二上·长沙开学考) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 成立的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分又不必要条件

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4. (2023高二上·长沙开学考) 有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（　　）

A . 至多有1次中靶 B . 2次都中靶 C . 2次都不中靶 D . 只有1次中靶

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5. (2023高二上·长沙开学考) 已知样本数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 的平均数和方差分别为3和56，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， … $\text{[math]}$ 的平均数和方差分别是（）

A . 12，115 B . 12，224 C . 9，115 D . 9，224

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6. (2023高二上·长沙开学考) 某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的100名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间 $\text{[math]}$ 内的学生有（）

A . 15名 B . 20名 C . 25名 D . 40名

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7. (2023高二上·长沙开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . －3 B . －2 C . 0 D . 1

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8. (2023高二上·长沙开学考) 如图，正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. (2023高二上·长沙开学考) 已知 $\text{[math]}$ ，则a ， b满足（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2023高二上·长沙开学考) 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2024高一下·普洱期末) 下列四个命题中，假命题有（）

A . 对立事件一定是互斥事件 B . 若A ， B为两个事件，则 $\text{[math]}$ C . 若事件A ， B ， C彼此互斥，则 $\text{[math]}$ D . 若事件A ， B满足 $\text{[math]}$ ，则A ， B是对立事件

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12. (2023高二上·长沙开学考) 如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点.则（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 垂直 B . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 平行 C . 平面 $\text{[math]}$ 截正方体所得的截面面积为 $\text{[math]}$ D . 点C与点G到平面 $\text{[math]}$ 的距离相等

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. (2023高二上·长沙开学考) 2023年是全面贯彻党的二十大精神的开局之年，某中学为了解教师学习“党的二十大精神”的情况，采用比例分配分层随机抽样的方法从高一、高二、高三的教师中抽取一个容量为30的样本，已知高一年级有教师80人，高二年级有教师72人，高三年级有教师88人，则高一年级应抽取人.

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14. (2023高二上·长沙开学考) 在平行六面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. (2023高二上·长沙开学考) 已知 $\text{[math]}$ ，若存在实数 $\text{[math]}$ ，使函数 $\text{[math]}$ 有两个零点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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16. (2023高二上·长沙开学考) 如图，正四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面边长和高均为2，M是侧棱PC的中点.若过AM作该正四棱锥的截面，分别交棱PB、PD于点E、F（可与端点重合），则四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积的取值范围是.

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四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. (2023高二上·长沙开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ 的部分图像如图所示.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的解析式及对称中心；
2. （2）先将 $\text{[math]}$ 的图像纵坐标缩短到原来的 $\text{[math]}$ 倍，再向右平移 $\text{[math]}$ 个单位后得到 $\text{[math]}$ 的图像，求函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调减区间和最值.
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18. (2023高二上·长沙开学考) 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中，E ， F分别是棱BC ， DC的中点.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若点M ， N分别在 $\text{[math]}$ ， AF上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）棱 $\text{[math]}$ 上是否存在点P ，使平面 $\text{[math]}$ 平面AFP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由.
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19. (2023高二上·长沙开学考) 某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战.点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面，则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为 $\text{[math]}$ ，乙队每位球员罚进点球的概率均为 $\text{[math]}$ .假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.
1. （1）求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率；
2. （2）若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以 $\text{[math]}$ 领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率.
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20. (2023高二上·长沙开学考) 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，梯形 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点共面；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.
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21. (2023高二上·长沙开学考) 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按 $\text{[math]}$ 方向释放机器人甲，同时在A处按 $\text{[math]}$ 方向释放机器人乙，设机器人乙在M处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动.若点M在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知 $\text{[math]}$ 米，E为AB中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ .
1. （1）若两机器人运动方向的夹角为 $\text{[math]}$ ， AD足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；
2. （2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍.
  ①若 $\text{[math]}$ ， AD足够长，机器人乙挑战成功，求 $\text{[math]}$ .
  ②如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论 $\text{[math]}$ 的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度 $\text{[math]}$ 使机器人乙挑战成功？
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22. (2023高二上·长沙开学考) 定义： $\text{[math]}$ 为实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 的“正弦方差”.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明：实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 的“正弦方差” $\text{[math]}$ 的值是与 $\text{[math]}$ 无关的定值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 的“正弦方差” $\text{[math]}$ 的值是与 $\text{[math]}$ 无关的定值，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 值.
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