【北师大版·数学】2024年中考一轮复习之垂线段最短

更新时间：2023-11-08 浏览次数：55 类型：一轮复习

一、选择题

1. (2023·乾安模拟) 如图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段（）的长度，这样测量的依据是（）

A . $\text{[math]}$ ，两点之间，线段最短 B . $\text{[math]}$ ，两点确定一条直线 C . $\text{[math]}$ ，垂线段最短 D . $\text{[math]}$ ，三角形两边之和大于第三边

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2. (2023·兰山模拟) 如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（）

A . 垂线段最短 B . 两点确定一条直线 C . 两点之间，线段最短 D . 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

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3. (2022·吉林模拟) 如图，从人行横道线上的点P处过马路，沿线路PB行走距离最短，其依据的数学道理是（）

A . 垂线段最短 B . 两点之间线段最短 C . 两点确定一条直线 D . 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

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4. (2022·广元模拟) 如图所示，△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论：①BC＞CD；②AC＞AD；③AB＞AC；④BC＞AD．正确的有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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5. (2021·滦州模拟) 如图，在平面内过点O作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（）

A . 0条 B . 1条 C . 2条 D . 无数条

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6. (2023·黔东南模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023九下·临安模拟) 点A为直线 $\text{[math]}$ 外一点， $\text{[math]}$ 于点C， $\text{[math]}$ ．点P是直线 $\text{[math]}$ 上的动点，则线段 $\text{[math]}$ 长可能是（）

A . 1 B . 3 C . 5 D . 7

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8. (2023·高明模拟) 如图， $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，弦 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是弦 $\text{[math]}$ 上的一个动点，则 $\text{[math]}$ 的长度范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2023·定远模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P为 $\text{[math]}$ 边上任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为邻边作 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 长度的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2023·章丘模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点E，F，再分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点O，P为射线 $\text{[math]}$ 上任意一点，过点P作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点M，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 长度的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 4 D . $\text{[math]}$

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二、填空题

11. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，按下列步骤作图：①在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上分别截取 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ． ②分别以点D和点E为圆心，以大于 $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，两弧在 $\text{[math]}$ 内交于点M ． ③作射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F ．若点P是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是．

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12. (2023·无锡模拟) 如图，在直角坐标系中， $\text{[math]}$ ， D是 $\text{[math]}$ 上一点，B是y正半轴上一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为E ，
1. （1）当D是 $\text{[math]}$ 的中点时， $\text{[math]}$ ；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的最小值
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13. (2023·黑龙江模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D ， P为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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14. (2023·增城模拟) 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为对角线 $\text{[math]}$ 不含点 $\text{[math]}$ 上任意一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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15. (2023·广东模拟) 在直角坐标系中，O为原点，P是直线y=-x+4上的动点，则|OP|的最小值为

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三、作图题

16. (2023·江西) 如图是 $\text{[math]}$ 的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
1. （1）在图1中作锐角 $\text{[math]}$ ，使点C在格点上；
2. （2）在图2中的线段 $\text{[math]}$ 上作点Q，使 $\text{[math]}$ 最短．
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四、解答题

17. (2019·三明模拟) 如图，在△ABC中，点P是BC边上的动点，点M是AP的中点，PD⊥AB ，垂足为D ， PE⊥AC ，垂足为E ，连接MD ， ME ．
（Ⅰ）求证：∠DME＝2∠BAC；

（Ⅱ）若∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝ $\text{[math]}$ ，连接DE ，求△MDE周长的最小值．

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五、综合题

18. (2023·福田模拟) 【综合与实践】我国海域的岛屿资源相当丰富，总面积达72800多平方公里，有人居住的岛屿达450个.位于北部湾的某小岛，外形酷似橄榄球，如图10-1所示.
如图10-2所示，现把海岸线近似看作直线m，小岛面对海岸线一侧的外缘近似看作
AB，经测量，AB的长可近似为250π海里，它所对的圆心角（∠AOB）的大小可近似为90°.（注：AB在m上的正投影为图中线段CD，点O在m上的正投影落在线段CD上.）
1. （1）求AB的半径r；
2. （2）因该岛四面环海，淡水资源缺乏，为解决岛上居民饮用淡水难的问题，拟在海岸线上，建造一个淡水补给站，向岛上居民输送淡水.为节约运输成本，要求补给站到小岛外缘AB的距离最近（即，要求补给站与AB上的任意一点，两点之间的距离取得最小值.）；
  请你依据所学几何知识，在图10-2中画出补给站位置及最短运输路线.（保留画图痕迹，并做必要标记与注明；不限于尺规作图，不要求证明.）
3. （3）如图10-3，若测得AC长为600海里，BD长为500海里，试求出（2）中的最小距离。
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19. (2021·泰州) 如图
1. （1）如图①，O为AB的中点，直线l₁、l₂分别经过点O、B，且l₁∥l₂ ，以点O为圆心，OA长为半径画弧交直线l₂于点C，连接AC.求证：直线l₁垂直平分AC；
2. （2）如图②，平面内直线l₁∥l₂∥l₃∥l₄ ，且相邻两直线间距离相等，点P、Q分别在直线l₁、l₄上，连接PQ.用圆规和无刻度的直尺在直线l₄上求作一点D，使线段PD最短.（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）
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20. (2021九上·寿光期中) 如图，一艘渔船位于小岛 $\text{[math]}$ 的北偏东30°方向，距离小岛 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 处，它沿着点 $\text{[math]}$ 的南偏东15°方向航行.
1. （1）渔船航行多远与小岛 $\text{[math]}$ 的距离最近？（结果保留根号）
2. （2）渔船到达距离小岛 $\text{[math]}$ 最近点后，按原航向继续航行 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 处时突然发生事故，渔船马上向小岛 $\text{[math]}$ 上的救援队求救，问：救援队从 $\text{[math]}$ 处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？（结果保留根号）
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21. (2019·河北) 如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE ， ∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC交于点P（不与点B ， C重合），点B ， E在AD异侧，I为△APC的内心．
1. （1）求证：∠BAD＝∠CAE；
2. （2）设AP＝x ，请用含x的式子表示PD ，并求PD的最大值；
3. （3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m ， n的值．
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