黑龙江省哈尔滨市第三名校2023-2024学年高二上学期数学...

更新时间：2024-01-08 浏览次数：37 类型：期中考试

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. (2023高二上·哈尔滨期中) 抛物线 $\text{[math]}$ 的准线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023高二上·哈尔滨期中) 双曲线 $\text{[math]}$ 的焦点坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023高二上·哈尔滨期中) 若点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离比它到直线 $\text{[math]}$ 的距离小1，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2023高二上·哈尔滨期中) 若直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 平行，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . 3或 $\text{[math]}$ D . 2

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5. (2023高二上·哈尔滨期中) 如图，一抛物线型拱桥的拱顶 $\text{[math]}$ 比水面高2米，水面宽度 $\text{[math]}$ 米．水面下降1米后水面宽（）米

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023高二上·哈尔滨期中) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的两个交点分别在双曲线的两支上，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023高二上·哈尔滨期中) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点重合．斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且与 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的斜率为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023高二上·哈尔滨期中) 已知圆 $\text{[math]}$ ，若曲线 $\text{[math]}$ 上存在四个点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的两条切线， $\text{[math]}$ 为切点，满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. (2023高二上·哈尔滨期中) 已知圆 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 圆 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 内切 B . 直线 $\text{[math]}$ 是两圆的一条公切线 C . 直线 $\text{[math]}$ 被圆 $\text{[math]}$ 截得的最短弦长为 $\text{[math]}$ D . 过点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的切线有两条

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10. (2023高二上·哈尔滨期中) 已知 $\text{[math]}$ 同时为椭圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的左右焦点，设椭圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 在第一象限内交于点 $\text{[math]}$ ，椭圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率分别为 $\text{[math]}$ 为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$

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11. (2023高二上·哈尔滨期中) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两个不同点，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的最小值是6 B . 若点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是4 C . $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$

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12. (2023高二上·哈尔滨期中) 已知 $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ 分别是双曲线 $\text{[math]}$ 的左，右焦点，直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 为双曲线 $\text{[math]}$ 上异于 $\text{[math]}$ 的点，且 $\text{[math]}$ 与坐标轴不垂直，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 平分线的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ B . 双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程是 $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的斜率之积为4 D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为4

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上．

13. (2023高二上·哈尔滨期中) 设点 $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 上一点，则点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 距离的最小值为．

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14. (2023高二上·哈尔滨期中) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为其长轴两端点，点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上异于 $\text{[math]}$ 的一点，则直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的斜率之积等于．

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15. (2023高一上·天津市月考) 已知直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点，且线段 $\text{[math]}$ 的中点在直线 $\text{[math]}$ 上，则此椭圆的离心率为．

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16. (2023高二上·哈尔滨期中) 抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，准线为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是抛物线上的两个动点，且满足 $\text{[math]}$ .设线段 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是.

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四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. (2023高二上·哈尔滨期中) 已知直线 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若经过 $\text{[math]}$ 两点的直线与直线 $\text{[math]}$ 垂直，求此时直线 $\text{[math]}$ 的斜率；
2. （2） $\text{[math]}$ 时，若点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点为点 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长度．
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18. (2023高二上·哈尔滨期中) 已知半径为4的圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线相切，且圆心 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴正半轴上．
1. （1）求圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）经过 $\text{[math]}$ 点，且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程．
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19. (2023高二上·哈尔滨期中) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线上，且 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为坐标原点）．
1. （1）求抛物线的标准方程；
2. （2）抛物线的准线与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交抛物线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，若以 $\text{[math]}$ 为直径的圆过点 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程．
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20. (2023高二上·哈尔滨期中) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的中心在坐标原点，两焦点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，离心率为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 的周长为6．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于两点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的取值范围．
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21. (2023高二上·哈尔滨期中) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的焦点与椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点相同，且双曲线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 为双曲线 $\text{[math]}$ 上异于点 $\text{[math]}$ 的两点，记直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ．求直线 $\text{[math]}$ 恒过的定点．
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22. (2023高二上·哈尔滨期中) 有一个半径为 $\text{[math]}$ 的圆形纸片，设纸片上一定点 $\text{[math]}$ 到纸片圆心 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，将纸片折叠，使圆周上一点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，以点 $\text{[math]}$ 所在的直线为 $\text{[math]}$ 轴，线段 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 为原点建立平面直角坐标系．记折痕与 $\text{[math]}$ 的交点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2） $\text{[math]}$ 为曲线 $\text{[math]}$ 上第一象限内的一点，过点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的两条切线，分别交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3）在（2）的条件下，直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，且直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角互补，判断直线 $\text{[math]}$ 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
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