一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
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1.
已知集合
, 则
( )
-
2.
命题:
的否定是( )
-
3.
下列函数中,既是奇函数又在区间
上单调递增的是( )
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4.
已知函数
的对应关系如下表所示,函数
的图象如图所示,则
的值为( )
| 0 | 3 | 6 |
| 3 | 0 | 6 |
A . 9
B . 6
C . 3
D . 0
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5.
有限集合
中元素的个数记作
, 若
都为有限集合,则“
”是“
”的( )
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充分必要条件
D . 既不充分也不必要条件
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6.
设函数
在区间
上是增函数,则实数
的取值范围是( )
-
-
8.
向体积相同且高为
的花瓶中,注水注满为止.如果注水量
与水深
的函数关系式如图所示,那么花瓶的形状是( )
-
9.
我们知道函数
的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数
的图像关于点
成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数,则函数
的对称中心是( )
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二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.
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11.
函数
的定义域是
.
-
-
13.
能说明“
”为假命题的一个实数
的值为
.
-
14.
设函数
, 若当
时,存在实数
, 使得
, 则
的值为
.若
存在最大值,则实数
的最小值为
.
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15.
狄利克雷函数
定义为:当自变量取有理数时,函数值为1当自变量取无理数时,函数值为0.以下关于狄利克雷函数
的性质:
①的值域为;
②若 , 则有成立;
③函数的图象关于轴对称;
④不存在 , 使得为等腰直角三角形.
其中表述正确的是.
三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
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17.
已知指数函数
的图象过点
.
-
(1)
求函数
的解析式
-
(2)
试比较
这三个数的大小,并说明理由;
-
(3)
若
, 求实数
的取值范围.
-
18.
已知函数
.
-
(1)
证明:
为偶函数;
-
(2)
用定义证明:
在区间
上单调递减.
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19.
刚刚结束的2023年杭州亚运会给人们留下了深刻印象,也带火了很多杭州特色产品.某小组通过对一款杭州特产龙井茶的某官网销售情况的调查发现:该商品在过去30天内,销售单价
(单位:百元)与时间
(单位:天)的函数关系近似满足
(
为常数),日销售量
(单位:件)与时间
的部分数据如下表所示:
x | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
Q(x) | 180 | 310 | 390 | 420 | 400 | 330 |
已知第5天的日销售收入为216百元.
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(1)
求
的值;
-
(2)
给出以下三种函数模型(1)
;(2)
;(3)
.
请根据上表中的数据,选择你认为最合适的一种函数来描述与的变化关系,并求出函数的解析式;
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(3)
记该商品在这30天内的日销售收入为
(单位:百元),求
的最大值.
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20.
设函数
, 函数
, 用
表示
中的较大者,记为
, 再从条件(1)、条件(2)这两个条件中选择一个作为已知.
条件(1):
条件(2):恒成立.
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(1)
求不等式
的解集;
-
(2)
当
时,关于
的不等式
恒成立,求实数
的取值范围;注:如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.
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21.
已知正整数集合
, 对任意
, 定义
.若存在正整数
, 使得对任意
, 都有
, 则称集合
具有性质
.记
是集合中的
最大值.
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(1)
判断集合
和集合
是否具有性质
, 直接写出结论;
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