【培优卷】3.3 垂径定理—2023-2024学年北师大版九...

更新时间：2024-01-15 浏览次数：50 类型：同步测试

一、选择题

1. (2023九上·萧山月考) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的弦，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的动点（不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），过点 $\text{[math]}$ 作垂直于 $\text{[math]}$ 的弦 $\text{[math]}$ ．若设 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则弦 $\text{[math]}$ 的长（）

A . 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值均有关 B . 只与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值有关 C . 只与 $\text{[math]}$ 的值有关 D . 只与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ (或 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ )的值有关

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2. (2023九上·浙江期中) 简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示简车的一个盛水桶．如图2，当简车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心0为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则简车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（）m．

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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3. (2023九上·杭州期中) 如图，圆心在 $\text{[math]}$ 轴的负半轴上，半径为5的 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的正半轴交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于C，D两点.则弦CD长的所有可能的整数值有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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4. (2023九上·石家庄期中) 如图所示，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为弦， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．且 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上任意一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024九下·沙市区模拟) 已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（）

A . $\text{[math]}$ B . 4 C . $\text{[math]}$ D . 5

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6. (2023九上·乐清期中) △ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023九上·和平期中) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，分别以点O和点B为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M ， N两点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于C ， D两点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . 4 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023九上·东阳期中) 如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是（）

A . 2 $\text{[math]}$ B . 4 C . 4 $\text{[math]}$ D . 8 $\text{[math]}$

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二、填空题

9. (2023九上·石家庄月考) 圆O的半径为5， $\text{[math]}$ 为两条平行的弦， $\text{[math]}$ ．则这两条平行弦之间的距离为．

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10. (2023九上·萧山月考) 如图，某公园有一月牙形水池，水池边缘有A ， B ， C ， D ， E五盏装饰灯．为了估测该水池的大小，观测员在A ， D两点处发现点A ， E ， C和D ， E ， B均在同一直线上，沿AD方向走到F点，发现 $\text{[math]}$ ．测得 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，则 $\text{[math]}$ 所在圆的半径为米， $\text{[math]}$ 所在圆的半径为．米．

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11. (2023·静安模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，我们定义点 $\text{[math]}$ 的“关联点”为 $\text{[math]}$ ．如果已知点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的内部， $\text{[math]}$ 的半径长为 $\text{[math]}$ （如图所示），那么点 $\text{[math]}$ 的横坐标 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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12. (2021·深圳模拟) 如图所示，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A、B两点，过点B的直线与抛物线交于点C（点C在x轴上方），过ABC三点的⊙M满足∠MBC=45°，则点C的坐标为.

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三、解答题

13. (2023九上·路北期中) 如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O ， AB＝52cm ， MN为水面截线，MN＝48cm ， GH为桌面截线，MN∥GH ．
1. （1）作OC⊥MN于点C ，求OC的长；
2. （2）将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了14cm ，求此时水面截线减少了多少．
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14.
1. （1）如图①，过⊙O上一点P作两条弦PA，PB．若PA=PB，则PO平分∠APB．为什么？
2. （2）如图②，若点P在⊙O内，过点P的两条弦AC，DB相等，则PO平分∠APB吗？为什么？
3. （3）如图③，若点P在⊙O外，过点P作PA，PB，分别交⊙O于点A，C和B，D，且AC=BD，则PO平分∠APB吗？为什么？
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四、实践探究题

15. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载(如图①)：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”
阅读完这段文字后，聪聪画出了一个圆柱截面示意图(如图②)，其中BO⊥CD于点A，求“间径”就是要求⊙O的直径．根据上面记载的文字，发现AB= 寸，CD= 寸(一尺等于十寸)．运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助聪聪求出⊙O的直径．

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16. (2022·龙游模拟) 如图
1. （1）【基础巩固】
  如图1，在△ABC中，D为AB上一点，AC²＝AD•AB.求证：∠ACD＝∠B.
2. （2）【尝试应用】
  如图2，在平行四边形ABCD中，E是AB上一点，连结AC，EC.已知AE＝4，AC＝6，CD＝9.求证：2AD＝3EC.
3. （3）【拓展提高】
  如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AC、BD相交于点E，已知⊙O的半径为2，AE＝CE，AB＝ $\text{[math]}$ AE，BD= $\text{[math]}$ ，求△ABD的面积.
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