广东省汕头市金山中学2024届高三上学期1月第二次调研数学试...

更新时间：2024-04-24 浏览次数：52 类型：高考模拟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. (2024高三上·汕头模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三上·威宁期中) 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是虚数单位），则复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. (2024高三上·汕头模拟) 已知 $\text{[math]}$ 的面积为24，平面 $\text{[math]}$ 中的点 $\text{[math]}$ 分别满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . 7 B . 8 C . 9 D . 10

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4. (2024高一下·沾益开学考) “ $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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5. (2024高三上·汕头模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . 511 B . 1022 C . 1023 D . 2047

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6. (2024高三上·汕头模拟) 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应不超过 $\text{[math]}$ .经测定，刚下课时，空气中含有 $\text{[math]}$ 的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 随时间 $\text{[math]}$ （单位：分钟）的变化规律可以用函数 $\text{[math]}$ 描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据： $\text{[math]}$ ）（）

A . 11分钟 B . 13分钟 C . 15分钟 D . 17分钟

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7. (2024高一下·梅里斯期末) 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，且三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积为 $\text{[math]}$ ，则当四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积最大时， $\text{[math]}$ 长为（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高三上·汕头模拟) 已知点 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的上顶点， $\text{[math]}$ 分别是椭圆左右焦点，直线 $\text{[math]}$ 将三角形 $\text{[math]}$ 分割为面积相等两部分，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. (2024高三上·汕头模拟) 下列结论正确的有（）

A . 相关系数 $\text{[math]}$ 越接近1，变量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相关性越强 B . 若随机变量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 相关指数 $\text{[math]}$ 越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 D . 设随机变量 $\text{[math]}$ 服从二项分布 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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10. (2024高三上·汕头模拟) 亚马逊大潮是世界潮涌之最，当潮涌出现时，其景、其情、其声，真是“壮观天下无”，在客观现实世界中，潮汐的周期性变化现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型来研究．已知函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称，则下列选项正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 图象的一条对称轴 C . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增 D . 若将函数 $\text{[math]}$ 图象上的所有点向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称，则m的最小值为 $\text{[math]}$

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11. (2024高三上·汕头模拟) 如图，过抛物线 $\text{[math]}$ 焦点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于 $\text{[math]}$ 两点，弦 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 分别作准线 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足分别为 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与 $\text{[math]}$ 相切 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最小值为4

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12. (2024高三上·汕头模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 有两个零点 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. (2024高三上·汕头模拟) $\text{[math]}$ 的展开式中常数项为.

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14. (2024高三上·汕头模拟) 已知等差数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. (2024高三上·汕头模拟) 已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为．

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16. (2024高三上·汕头模拟) 已知实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是自然对数的底数，则 $\text{[math]}$ .

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四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

17. (2024高三上·汕头模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 是公差 $\text{[math]}$ 不为零的等差数列，其前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 成等比数列，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）记 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
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18. (2024高三上·汕头模拟) 在① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ 三个条件中任选一个补充在下列问题中，并解决该问题.
在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， ____，且 $\text{[math]}$ .求：
1. （1） $\text{[math]}$ ；
2. （2） $\text{[math]}$ 周长的取值范围.
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19. (2024高三上·汕头模拟) 在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （如图1），将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起到 $\text{[math]}$ 的位置，使得点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 上的射影 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，连结 $\text{[math]}$ （如图2）．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）过直线 $\text{[math]}$ 的平面 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 平行，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．
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20. (2024高三上·汕头模拟) 从中国夺得第一枚奥运金牌至今，已过去约四十年．在这期间，中国体育不断进步和发展，如跳水、举重、体操、乒乓球、射击、羽毛球等，现已处于世界领先地位．我国某邻国为挑选参加第19届杭州亚运会乒乓球男单比赛的队员，对世界排名均不靠前，且水平相当的甲乙二人的乒乓球单打水平分别进行了五轮综合测试，按某评判标准得到评价成绩如下（分数越高，代表打球水平越好）
甲：5 6.3 9.5 9.2 6 乙：7.2 7.3 6.6 7 7.9
1. （1）参考上面数据你认为选派甲乙哪位选手参加合适？说明理由；
2. （2）现甲、乙二人进行单打比赛，并约定其中一人比另一人多赢两局时比赛就结束，且最多比赛20局，若甲、乙在每一局比赛中获胜的概率均为 $\text{[math]}$ ，且各局比赛互不影响，求比赛结束时比赛局数的数学期望．
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21. (2024高三上·汕头模拟) 在平面直角坐标系中，已知点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的斜率之积为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求点 $\text{[math]}$ 的轨迹 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交曲线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值．
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22. (2024高三上·汕头模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是自然对数的底数．
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，设关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 恒成立时 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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