湖南省岳阳市2023-2024学年高三上学期质量监测（一）数...

更新时间：2024-06-06 浏览次数：26 类型：高考模拟

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. (2024高三上·岳阳) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三上·岳阳) 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高三上·岳阳) 已知数列 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 均为等差数列，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 5 B . 6 C . 7 D . 8

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4. (2024高三上·岳阳) 定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 满足：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，且对任意实数 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高三上·岳阳) 自2020年确定针对中国的“融入”政策（和平演变）失败，美国政府开始带领部分西方国家推动“去中国化”的“硬脱钩”政策，技术封锁特别是芯片出口限制就是其中重要一项.为突破围堵，以华为为代表的一批中国高新技术企业不仅着力发展硬件，而且加强了软件技术特别是算法的研发.如我国超级计算机天河一号 $\text{[math]}$ 每秒执行 $\text{[math]}$ 条指令，普通计算机每秒执行 $\text{[math]}$ 条指令.若天河一号 $\text{[math]}$ 用“插入排序”法排 $\text{[math]}$ 个数需要 $\text{[math]}$ 条指令，普通计算机用“并归排序”法排 $\text{[math]}$ 个数需要 $\text{[math]}$ 条指令.现排 $\text{[math]}$ 个数，则超级计算机与普通计算机所花时间的比值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高三上·岳阳) 据统计，我国结核病的感染率约为0.001.在针对结核病的检查中，健康者检测结果显示为阳性的概率为0.05，结核病感染者检测结果显示为阴性的概率为0.01，那么 $\text{[math]}$ 同学检测结果为阳性的概率为（）

A . 0.05094 B . 0.05001 C . 0.001 D . 0.05084

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7. (2024高三上·岳阳) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点， $\text{[math]}$ 为椭圆上顶点，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于另外一点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则椭圆离心率 $\text{[math]}$ 位于下列哪个区间（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高三上·岳阳) 已知四棱台的底面为矩形，上底面积为下底面积的 $\text{[math]}$ ，侧棱长为 $\text{[math]}$ .当该四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. (2024高三上·岳阳) 若函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称 C . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有2个极值点 D . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增

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10. (2024高三上·岳阳) 已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1，下列说法正确的是（）

A . 异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ B . 若该正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球体的体积为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ D . 若点 $\text{[math]}$ 为正方体 $\text{[math]}$ 对角线 $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$

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11. (2024高三上·岳阳) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的实轴长为2，左焦点到右顶点的距离为3. $\text{[math]}$ 为坐标原点.直线 $\text{[math]}$ 交双曲线 $\text{[math]}$ 的右支于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点（不同于右顶点），且与双曲线 $\text{[math]}$ 的两条渐近线分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 位于第一象限），则（）

A . 双曲线方程为 $\text{[math]}$ B . 点 $\text{[math]}$ 到两条渐近线的距离之和的最小值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$

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12. (2024高三上·岳阳) 1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：“7只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成7等份，只好先去睡觉，准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉1个桃子，然后将其分成7等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，吃掉1个桃子后，也将桃子分成7等份，藏起自己的一份睡觉去了；以后的5只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？”.下列说法正确的是（）

A . 若第 $\text{[math]}$ 只猴子分得 $\text{[math]}$ 个桃子（不含吃的），则 $\text{[math]}$ B . 若第 $\text{[math]}$ 只猴子连吃带分共得到 $\text{[math]}$ 个桃子，则 $\text{[math]}$ 为等比数列 C . 若最初有 $\text{[math]}$ 个桃子，则第7只猴子偷偷办理后还剩得 $\text{[math]}$ 个桃子 D . 若最初有 $\text{[math]}$ 个桃子，则 $\text{[math]}$ 被7除的余数为1

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三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13. (2024高三上·岳阳) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若向量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为钝角，写出一个满足条件的 $\text{[math]}$ 的坐标为.

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14. (2024高三上·岳阳) 已知曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线与曲线 $\text{[math]}$ 有两个不同的公共点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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15. (2024高三上·岳阳) 过圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 外一点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的切线，切点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程为.

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16. (2024高三上·岳阳) 正方形 $\text{[math]}$ 的边长为1， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的点（不包括端点），且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的角平分线.则
1. （1） $\text{[math]}$ 的周长为；
2. （2） $\text{[math]}$ 面积的取值范围为.
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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. (2024高三上·岳阳) 已知正项数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：数列 $\text{[math]}$ 为常数列；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式，并证明 $\text{[math]}$ .
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18. (2024高三上·岳阳) 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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19. (2024高三上·岳阳) 如图，三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧棱 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若二面角 $\text{[math]}$ 的正切值为 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值.
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20. (2024高三上·岳阳) 为了进一步深入开展“书香校园”活动，让读书成为每位师生的习惯，让阅读成为学校、家庭、社会的一种良好风气，某校规定每位师生需在学校图书馆借阅一本文学类或理工类书籍.现对该校60名师生的借阅情况进行调查，其中教师与学生的人数之比为 $\text{[math]}$ ，教师中借阅文学类书籍的占 $\text{[math]}$ ，学生中借阅文学类书籍的占 $\text{[math]}$ ，得到如下 $\text{[math]}$ 列联表：
1. （1）请将 $\text{[math]}$ 列联表补充完整，并根据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，判断老师与学生的借阅情况是否存在差异；
  
  教师
  学生
  合计
  文学类
  理工类
  合计
2. （2）若从学校随机抽取 $\text{[math]}$ 人，用样本的频率估计总体的概率，若抽取的人中有5人借阅理工类书籍的概率最大，求 $\text{[math]}$ 所有可能的取值.
  附： $\text{[math]}$ ，
  其中 $\text{[math]}$ .参考数据：
  $\text{[math]}$
  0.1
  0.05
  0.01
  0.005
  0.001
  $\text{[math]}$
  2.706
  3.841
  6.635
  7.879
  10.828
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21. (2024高三上·岳阳) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的准线与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作抛物线的两条切线，切点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，其中点 $\text{[math]}$ 在第一象限.
1. （1）求直线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 交抛物线于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的平行直线 $\text{[math]}$ 分别交线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .证明：存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ .
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22. (2024高三上·岳阳) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 的零点个数，并说明理由.
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