湖北省2024届高三下学期高中毕业生四月模拟考试数学试题

更新时间：2024-04-28 浏览次数：55 类型：高考模拟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. (2024高三下·湖北模拟) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 0 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三下·湖北模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高三下·湖北模拟) 下面四个数中，最大的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024高三下·湖北模拟) 数列 $\text{[math]}$ 的首项为1，前n项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，（m ， $\text{[math]}$ ）则 $\text{[math]}$ （）

A . 9 B . 1 C . 8 D . 45

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5. (2024高三下·湖北模拟) 复数z= $\text{[math]}$ （m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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6. (2024高三下·湖北模拟) 函数 $\text{[math]}$ 的图象大致为（）

A . B . C . D .

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7. (2024高三下·湖北模拟) 能被3整除，且各位数字不重复的三位数的个数为（）

A . 228 B . 210 C . 240 D . 238

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8. (2024高三下·湖北模拟) 抛物线 $\text{[math]}$ 上有四点A ， B ， C ， D ，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点P ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .过A ， B分别作 $\text{[math]}$ 的切线交于点Q ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9. (2024高三下·深圳模拟) 平行六面体中，各个表面的直角个数之和可能为（）

A . 0 B . 4 C . 8 D . 16

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10. (2024高三下·深圳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 有最小正零点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2024高三下·湖北模拟) 如图，三棱台 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 为锐角三角形，点D ， H ， E分别为棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；侧面 $\text{[math]}$ 为垂直于底面的等腰梯形，若该三棱台的体积最大值为 $\text{[math]}$ ，则下列说法可能但不一定正确的是（）

A . 该三棱台的体积最小值为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. (2024高三下·深圳模拟) 写出函数 $\text{[math]}$ 的一条斜率为正的切线方程：.

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13. (2024高三下·深圳模拟) 两个连续随机变量X ， Y满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. (2024高三下·深圳模拟) 双曲线 $\text{[math]}$ 的左右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以实轴为直径作圆O ，过圆O上一点E作圆O的切线交双曲线的渐近线于A ， B两点（B在第一象限），若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.

15. (2024高三下·深圳模拟) 数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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16. (2024高三下·湖北模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的离心率相同，设 $\text{[math]}$ 的右顶点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的左顶点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）设直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的另一个交点为P ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的另一个交点为Q ，连 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值.
  参考公式： $\text{[math]}$
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17. (2024高三下·湖北模拟) 空间中有一个平面 $\text{[math]}$ 和两条直线m ， n ，其中m ， n与 $\text{[math]}$ 的交点分别为A ， B ， $\text{[math]}$ ，设直线m与n之间的夹角为 $\text{[math]}$ ，
图1 图2
1. （1）如图1，若直线m ， n交于点C ，求点C到平面 $\text{[math]}$ 距离的最大值；
2. （2）如图2，若直线m ， n互为异面直线，直线m上一点P和直线n上一点Q满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，
  （i）证明：直线m ， n与平面 $\text{[math]}$ 的夹角之和为定值；
  （ii）设 $\text{[math]}$ ，求点P到平面 $\text{[math]}$ 距离的最大值关于d的函数 $\text{[math]}$ .
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18. (2024高三下·湖北模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
1. （1）若对定义域内任意非零实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ ，求a；
2. （2）记 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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19. (2024高三下·湖北模拟) 欧拉函数在密码学中有重要的应用.设n为正整数，集合 $\text{[math]}$ ，欧拉函数 $\text{[math]}$ 的值等于集合 $\text{[math]}$ 中与n互质的正整数的个数；记 $\text{[math]}$ 表示x除以y的余数（x和y均为正整数），
1. （1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ；
2. （2）现有三个素数p ， q ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，存在正整数d满足 $\text{[math]}$ ；已知对素数a和 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ ，证明：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；‘
3. （3）设n为两个未知素数的乘积， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为另两个更大的已知素数，且 $\text{[math]}$ ；又 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和n求出x的值.
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