2014年高考理数真题试卷（天津卷）

更新时间：2021-05-20 浏览次数：525 类型：高考真卷

一、选择题

1. (2014·天津理) i是虚数单位，复数 $\text{[math]}$ =（）

A . 1﹣i B . ﹣1+i C . $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ I $\text{[math]}$ D . ﹣ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ i

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2. (2014·天津理) 设变量x，y满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则目标函数z=x+2y的最小值为（）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 5

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3. (2014·天津理) 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）

A . 15 B . 105 C . 245 D . 945

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4. (2014·天津理) 函数f（x）= $\text{[math]}$ （x²﹣4）的单调递增区间为（）

A . （0，+∞） B . （﹣∞，0） C . （2，+∞） D . （﹣∞，﹣2）

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5. (2014·天津理) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）

A . $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ =1 B . $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ =1 C . $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ =1 D . $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ =1

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6. (2014·天津理) 如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：
①BD平分∠CBF；
②FB²=FD•FA；
③AE•CE=BE•DE；
④AF•BD=AB•BF．
所有正确结论的序号是（）

A . ①② B . ③④ C . ①②③ D . ①②④

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7. (2014·天津理) 设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分又不必要条件

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8. (2014·天津理) 已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上， $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =μ $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =1， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =﹣ $\text{[math]}$ ，则λ+μ=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

9. (2014·天津理) 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．

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10. (2014·天津理) 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m³ ．

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11. (2014·天津理) 设{a_n}是首项为a₁ ，公差为﹣1的等差数列，S_n为其前n项和，若S₁ ， S₂ ， S₄成等比数列，则a₁的值为．

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12. (2014·天津理) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c= $\text{[math]}$ a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．

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13. (2020高二下·呼和浩特期末) 在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为．

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14. (2014·天津理) 已知函数f（x）=|x²+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为．

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三、解答题

15. (2014·天津理) 已知函数f（x）=cosx•sin（x+ $\text{[math]}$ ）﹣ $\text{[math]}$ cos²x+ $\text{[math]}$ ，x∈R．
1. （1）求f（x）的最小正周期；
2. （2）求f（x）在闭区间[﹣ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上的最大值和最小值．
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16. (2019高三上·梅县月考) 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．
1. （1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
2. （2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
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17. (2014·天津理) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
1. （1）证明：BE⊥DC；
2. （2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
3. （3）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．
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18. (2014·天津理) 设椭圆 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂ ，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|= $\text{[math]}$ |F₁F₂|．
1. （1）求椭圆的离心率；
2. （2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F₁ ，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．
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19. (2014·天津理) 已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x₁+x₂q+…+x_nqⁿ^﹣¹ ， x_i∈M，i=1，2，…n}．
1. （1）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；
2. （2）设s，t∈A，s=a₁+a₂q+…+a_nqⁿ^﹣¹ ， t=b₁+b₂q+…+b_nqⁿ^﹣¹ ，其中a_i ， b_i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a_n＜b_n ，则s＜t．
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20. (2014·天津理) 设f（x）=x﹣ae^x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x₁ ， x₂ ，且x₁＜x₂ ．
1. （1）求a的取值范围；
2. （2）证明： $\text{[math]}$ 随着a的减小而增大；
3. （3）证明x₁+x₂随着a的减小而增大．
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