吉林省长春市2024届高三下学期三模数学试题

更新时间：2024-05-30 浏览次数：40 类型：高考模拟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三个点的圆的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知向量 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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3. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 2 C . 4 D . 8

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4. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定： $\text{[math]}$ 血液中酒精含量达到 $\text{[math]}$ 的驾驶员即为酒后驾车， $\text{[math]}$ 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 $\text{[math]}$ ．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 $\text{[math]}$ 的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（）（结果取整数，参考数据： $\text{[math]}$ ）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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5. 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生35人，女生25人．根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为 $\text{[math]}$ ，该班成绩的方差为 $\text{[math]}$ ，则下列结论中一定正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知随机事件 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 在同一平面直角坐标系内，函数 $\text{[math]}$ 及其导函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 的最大值为1 B . 函数 $\text{[math]}$ 的最小值为1 C . 函数 $\text{[math]}$ 的最大值为1 D . 函数 $\text{[math]}$ 的最小值为1

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，则（）

A . $\text{[math]}$ 的最小正周期为π B . $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有3个极值点

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10. 设等比数列{a_n}的公比为q，其前n项和为S_n ，前n项积为T_n ，并且满足条件a₁>1，a₇a₈>1， $\text{[math]}$ <0.则下列结论正确的是（）

A . 0<q<1 B . a₇a₉<1 C . T_n的最大值为T₇ D . S_n的最大值为S₇

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11. 某圆锥的侧面展开图是圆心角为 $\text{[math]}$ ，面积为3π的扇形，则（）

A . 该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ B . 若该圆锥内部有一个圆柱，且其一个底面落在圆锥的底面内，则当圆柱的体积最大时，圆柱的高为 $\text{[math]}$ C . 若该圆锥内部有一个球，则当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为 $\text{[math]}$ D . 若该圆锥内部有一个正方体 $\text{[math]}$ ，且底面ABCD在圆锥的底面内，当正方体的棱长最大时，以A为球心，半径为 $\text{[math]}$ 的球与正方体表面交线的长度为 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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13. 直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 轴距离的最小值是．

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14. 有序实数组 $\text{[math]}$ 称为 $\text{[math]}$ 维向量， $\text{[math]}$ 为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知 $\text{[math]}$ 维向量 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．记范数为奇数的 $\text{[math]}$ 的个数为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，角 $\text{[math]}$ 的平分线交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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16. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的单调区间和极值；
3. （3）若对任意 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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17. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为双曲线C： $\text{[math]}$ 的左、右焦点，过 $\text{[math]}$ 的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时， $\text{[math]}$ 面积为12．
1. （1）求双曲线C的标准方程；
2. （2）当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断 $\text{[math]}$ 是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
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18. 正四棱台 $\text{[math]}$ 的下底面边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，已知点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证 $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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19. 入冬以来，东北成为全国旅游话题的“顶流”．南方游客纷纷北上，体验东北最美的冬天．某景区为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，并在购票平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择A和B两个套餐之一，下表是该景区在购票平台10天销售优惠券情况．
日期t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售量y（千张）
1.9
1.98
2.2
2.36
2.43
2.59
2.68
2.76
2.7
0.4
经计算可得： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）由于同时在线人数过多，购票平台在第10天出现网络拥堵，导致当天顾客购买的优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y关于t的回归方程（精确到0.01），并估计第10天的正常销量；
2. （2）假设每位顾客选择A套餐的概率为 $\text{[math]}$ ，选择B套餐的概率为 $\text{[math]}$ ，其中A套餐包含一张优惠券，B套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了n张优惠券，设其概率为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
3. （3）记（2）中所得概率 $\text{[math]}$ 的值构成数列 $\text{[math]}$ ．
  ①求数列 $\text{[math]}$ 的最值；
  ②数列收敛的定义：已知数列 $\text{[math]}$ ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，（a是一个确定的实数），则称数列 $\text{[math]}$ 收敛于a．根据数列收敛的定义证明数列 $\text{[math]}$ 收敛．
  回归方程 $\text{[math]}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
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