重庆市乌江新高考协作体2024届高三4月高考模拟监测（一）数...

更新时间：2024-06-08 浏览次数：18 类型：高考模拟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. (2024高三下·重庆市模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三下·重庆市模拟) 若 $\text{[math]}$ 为虚数单位，复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高三下·重庆市模拟) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 成等差数列，则 $\text{[math]}$ 为（）

A . 245 B . 244 C . 242 D . 241

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4. (2024高三下·重庆市模拟) 洪崖洞是具有重庆特色的吊脚楼式建筑，它的屋顶可近似看作一个多面体，右图是该屋顶的结构示意图，其中四边形 $\text{[math]}$ 和四边形 $\text{[math]}$ 是两个全等的等腰梯形， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是两个全等的正三角形．已知该多面体的棱 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 成的角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则该屋顶的侧面积为（）

A . 80 B . $\text{[math]}$ C . 160 D . $\text{[math]}$

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5. (2024高三下·重庆市模拟) 数学美的表现形式多种多样，我们称离心率 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为 $\text{[math]}$ ，若以原点 $\text{[math]}$ 为圆心，短轴长为直径作 $\text{[math]}$ 为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的两条切线，切点分别为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴分别交于 $\text{[math]}$ 两点，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高三下·重庆市模拟) 在不等式组 $\text{[math]}$ 所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均大于1的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高三下·重庆市模拟) 已知 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 都是非零有理数，则在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，一定是有理数的有（）个.

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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8. (2024高三下·重庆市模拟) 定义 $\text{[math]}$ ，对于任意实数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。

9. (2024高三下·重庆市模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2025·) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值为3 B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上没有零点 D . 函数 $\text{[math]}$ 的极值点有2个

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11. (2024高三下·重庆市模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，左、右顶点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为坐标原点，直线 $\text{[math]}$ 交双曲线 $\text{[math]}$ 的右支于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点（不同于右顶点），且与双曲线 $\text{[math]}$ 的两条渐近线分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，则（）

A . $\text{[math]}$ 为定值 B . $\text{[math]}$ C . 点 $\text{[math]}$ 到两条渐近线的距离之和的最小值为 $\text{[math]}$ D . 不存在直线 $\text{[math]}$ 使 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. (2024高三下·重庆市模拟) 已知正三角形 $\text{[math]}$ 的边长为2，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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13. (2024高三下·重庆市模拟) 从教学楼一楼到二楼共有11级台阶（从下往上依次为第1级，第2级， $\text{[math]}$ ，第11级），学生甲一步能上1级或2级台阶，若甲从一楼上到二楼使用每一种方法都是等概率的，则甲踩过第5级台阶的概率是．

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14. (2024高三上·广东模拟) 若函数 $\text{[math]}$ 存在唯一极值点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. (2024高二下·潮阳期中) 如图，在圆锥DO中，D为圆锥顶点，AB为圆锥底面的直径，O为底面圆的圆心，C为底面圆周上一点，四边形OAED为矩形．
1. （1）求证：平面BCD⊥平面ACE；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求平面ADE和平面CDE夹角的余弦值
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16. (2024高三下·重庆市模拟) 已知幂函数 $\text{[math]}$ 为奇函数，且在区间 $\text{[math]}$ 上是严格减函数.
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的表达式；
2. （2）对任意实数 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数t的取值范围.
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17. (2024高三下·重庆市模拟) 三峡之巅景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．
1. （1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．
2. （2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m（ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A ，否则该组标为B ，记询问的某组被标为B的概率为p ．
  （i）试用含m的代数式表示p；
  （ii）若一共询问了5组，用 $\text{[math]}$ 表示恰有3组被标为B的概率，试求 $\text{[math]}$ 的最大值及此时m的值．
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18. (2024高三下·重庆市模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右顶点分别为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于另一点 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 轴的距离为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程．
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上与点 $\text{[math]}$ 不重合的任意一点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴分别交于点 $\text{[math]}$ ．
  ①设直线 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
  ②判断 $\text{[math]}$ 是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．
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19. (2024高三下·重庆市模拟) 重庆江北国际机场T3B航站楼预计于今年完工，该建筑的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．考察图所示的光滑曲线 $\text{[math]}$ 上的曲线段 $\text{[math]}$ ，其弧长为 $\text{[math]}$ ，当动点从A沿曲线段 $\text{[math]}$ 运动到B点时，A点的切线 $\text{[math]}$ 也随着转动到B点的切线 $\text{[math]}$ ，记这两条切线之间的夹角为 $\text{[math]}$ （它等于 $\text{[math]}$ 的倾斜角与 $\text{[math]}$ 的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义 $\text{[math]}$ 为曲线段 $\text{[math]}$ 的平均曲率；显然当B越接近A ，即 $\text{[math]}$ 越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的曲率计算公式为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求单位圆上圆心角为 $\text{[math]}$ 的圆弧的平均曲率；
2. （2）已知函数 $\text{[math]}$ ，求曲线 $\text{[math]}$ 的曲率的最大值；
3. （3）已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 曲率为0时x的最小值分别为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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