湖北省2024届高三普通高中5月联合质量测评数学试卷

更新时间：2024-08-12 浏览次数：24 类型：高考模拟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 以下数据为某学校参加数学竞赛10人的成绩：（单位：分）72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，则这10个成绩的第75百分位数是（）

A . 90 B . 89 C . 88 D . 88.5

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2. 在复平面内，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. 已知 $\text{[math]}$ 是等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的首项 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . 2 C . 1 D . -1

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4. 已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 若正数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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6. 在 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若存在两个这样的三角形 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 在直角坐标系中，绕原点将 $\text{[math]}$ 轴的正半轴逆时针旋转角 $\text{[math]}$ 交单位圆于 $\text{[math]}$ 点、顺时针旋转角 $\text{[math]}$ 交单位圆于 $\text{[math]}$ 点，若 $\text{[math]}$ 点的纵坐标为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 点的纵坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的反函数，若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的图像与直线 $\text{[math]}$ 交点的横坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . 集合 $\text{[math]}$ 可以为 $\text{[math]}$ C . 集合 $\text{[math]}$ 的个数为7 D . 集合 $\text{[math]}$ 的个数为8

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10. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率之积为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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11. 在正四棱柱 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为面 $\text{[math]}$ ，面 $\text{[math]}$ 的中心.已知与点 $\text{[math]}$ 关于平面 $\text{[math]}$ 对称的点在棱柱的内部（不含表面），并记直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，对所有满足上述条件的正四棱柱，下列关系式一定成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 函数 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的最小正周期，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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13. $\text{[math]}$ 展开式中 $\text{[math]}$ 项的系数为.

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14. 已知正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，两个点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （两点不重合）都在直线 $\text{[math]}$ 的同侧（但 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 的异侧）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积的取值范围是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 其中 $\text{[math]}$ 为常数.
1. （1）过原点作 $\text{[math]}$ 图象的切线 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 成立，求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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16. 某基层工会拟通过摸球的方式对会员发放节日红包.现在一个不透明的袋子中装有5个都标有红包金额的球，其中有2个球标注的为40元，有2个球标注的为50元，有1个球标注的为60元，除标注金额不同外，其余均相同，每位会员从袋中一次摸出1个球，连续摸2次，摸出的球上所标的红包金额之和为该会员所获得的红包总金额.
1. （1）若每次摸出的球不放回袋中，求一个会员所获得的红包总金额不低于90元的概率；
2. （2）若每次摸出的球放回袋中，记 $\text{[math]}$ 为一个会员所获得的红包总金额，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望.
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17. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是圆锥底面圆 $\text{[math]}$ 的两条互相垂直的直径，过 $\text{[math]}$ 的平面与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，圆锥的体积为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若圆 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.
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18. 已知 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上三个不同的点，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 的最小值为4.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2） $\text{[math]}$ 的重心 $\text{[math]}$ 位于 $\text{[math]}$ 轴上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的横坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
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19. 数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 则称数列 $\text{[math]}$ 为下凸数列.
1. （1）证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是公比为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的两个正项等比数列，且 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 是下凸数列且不是等比数列；
3. （3）若正项下凸数列的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
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