广西柳州市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数...

更新时间：2024-07-19 浏览次数：6 类型：期中考试

一、单选题：本题共8小翘，母小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中，含 $\text{[math]}$ 项的系数为（）

A . 4 B . 6 C . 8 D . 24

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2. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 到焦点的距离是6，则其准线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知随机变量X服从正态分布 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 小王每次通过英语听力测试的概率是 $\text{[math]}$ ，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 某中学运动会期间，甲、乙、丙、丁、戊、戌六名志愿者站成一排拍照留念，其中甲和乙相邻，甲和丙不相邻，则不同的排列方式共有（）

A . 180种 B . 190种 C . 192种 D . 240种

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6. 2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕．某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A ， B ， C ， D ， E ， F共6名成员组成，现从这6名成员中随机抽选3名参加学校决赛，在学生A被抽到的条件下，学生B也被抽到的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知单调递增的等差数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的等比中项，令 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的前100项和 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个．高斯函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 表示不超过实数x的最大整数，如 $\text{[math]}$ ．若函数 $\text{[math]}$ 有且仅有4个零点，则实数a的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题：本题共3小题，每小顺6分，进18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 若复数z满足 $\text{[math]}$ ，则下列命题正确的有（）

A . z的虚部是 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 复数z在复平面内对应的点位于第三象限

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10. 下列结论正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 直线： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的充分不必要条件 C . 直线 $\text{[math]}$ 被圆 $\text{[math]}$ 截得的最短弦长为 $\text{[math]}$ D . 若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减，则 $\text{[math]}$

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上可导且 $\text{[math]}$ ，其导函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，对于函数 $\text{[math]}$ ，下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上为增函数 B . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的极小值点 C . 当 $\text{[math]}$ 时，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立 D . $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 设向量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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13. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 如图，在四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 均是边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形，二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，则此四面体的外接球表面积为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 在 $\text{[math]}$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 为等腰三角形．
2. （2）若D是边BC的中点， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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16. 第19届亚运会于2023年9月23日在我国杭州举行，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛成绩分数均分布在 $\text{[math]}$ 内，根据调查的结果绘制了学生分数频率分布直方图，如图所示．高于850分的学生被称为“特优选手”．
1. （1）求a的值，并估计该校学生分数的第70百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
2. （2）现采用分层抽样的方式从分数在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 内的两组学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中是“特优选手”的人数为随机变量X ，求X的分布列及数学期望．
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17. 如图所示，在直四棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD是菱形， $\text{[math]}$ ， M ， N分别为 $\text{[math]}$ ， AD的中点．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面BDM ．
2. （2）求平面BDM与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．
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18. 若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有定义，且对于任意不同的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的“k类函数”．已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的单调区间；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的“3类函数”，求实数a的取值范围．
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19. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右顶点分别为 $\text{[math]}$ ，长轴长为4，离心率为 $\text{[math]}$ ，点C在椭圆E上且异于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 分别为直线 $\text{[math]}$ 上的点．
1. （1）求椭圆E的方程；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）设直线 $\text{[math]}$ 与椭圆E的另一个交点为D ，证明：直线 $\text{[math]}$ 过定点．
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