一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
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2.
(2024·雄安模拟)
已知复数
(
,
为虚数单位),则“
”是“
在复平面内对应的点位于第四象限”的( )
A . 充要条件
B . 充分不必要条件
C . 必要不充分条件
D . 既不充分也不必要条件
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-
-
5.
(2024·雄安模拟)
如图,将正四棱台切割成九个部分,其中一个部分为长方体,四个部分为直三棱柱,四个部分为四棱锥.已知每个直三棱柱的体积为3,每个四棱锥的体积为1,则该正四棱台的体积为( )
A . 36
B . 32
C . 28
D . 24
-
6.
(2024·雄安模拟)
小李买了新手机后下载了
,
,
,
4个APP,已知手机桌面上每排可以放4个APP,现要将它们放成两排,且
和
放在同一排,则不同的排列方式有( )
A . 288种
B . 336种
C . 384种
D . 672种
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7.
(2024·雄安模拟)
已知直线
与曲线
有三个交点
,
,
, 且
, 则以下能作为直线
的方向向量的坐标是( )
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8.
(2024·雄安模拟)
过抛物线
的焦点
且斜率为
的直线与
交于
,
两点,若
为
的内角平分线,则
面积的最大值为( )
二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
-
A . A , B相互独立
B .
C .
D .
-
A . 该几何体的表面积为
B . 该几何体为七面体
C . 二面角的余弦值为
D . 存在球 , 使得该多面体的各个顶点都在球面上
-
A . 一定为周期函数
B . 若 , 则在上总有零点
C . 可能为偶函数
D . 在区间上的图象过3个定点
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
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-
13.
(2024·雄安模拟)
已知双曲线
的左、右焦点分别为
,
, 过
的直线与
轴相交于点
, 与
在第一象限的交点为
, 若
,
, 则
的离心率为
.
-
四、解答题(本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
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-
-
(2)
若
有两个极值点
,
, 其中
, 求
的取值范围.
-
-
(1)
是否一定成立?若是,请证明;若不是,请给出理由;
-
(2)
若
是正三角形,且
是正三棱锥,
, 求平面
与平面
夹角的余弦值.
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17.
(2024·雄安模拟)
10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一,资格赛比赛规则如下:每位选手采用立姿射击60发子弹,总环数排名前8的选手进入决赛.三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下:
环数 | 6环 | 7环 | 8环 | 9环 | 10环 |
甲的射击频数 | 1 | 1 | 10 | 24 | 24 |
乙的射击频数 | 3 | 2 | 10 | 30 | 15 |
丙的射击频数 | 2 | 4 | 10 | 18 | 26 |
假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的射击成绩相互独立.
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(1)
若丙进入决赛,试判断甲是否进入决赛,并说明理由;
-
(2)
若甲、乙各射击2次,估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率;
-
(3)
甲、乙、丙各射击10次,用
分别表示甲、乙、丙的10次射击中大于
环的次数,其中
, 写出一个
的值,使
, 并说明理由.
-
-
(1)
求点
的轨迹
;
-
(2)
设
上点
(不在
轴上)处的切线是
, 过坐标原点
作平行于
的直线,交直线
,
分别于点
,
, 求
的取值范围.
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19.
(2024·雄安模拟)
已知
为有穷正整数数列,其最大项的值为
, 且当
时,均有
. 设
, 对于
, 定义
, 其中
表示数集
中最小的数.
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-
-
(3)
当
时,证明:对所有
.