湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024届高三下学期开学摸底考试数...

更新时间：2024-09-13 浏览次数：6 类型：开学考试

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. (2024高三下·衡阳开学考) 从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中也任取2个数字，能组成无重复数字的四位数的个数为（）

A . 240 B . 216 C . 180 D . 108

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2. (2024高三下·衡阳开学考) 已知 $\text{[math]}$ 是等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 22 B . 33 C . 40 D . 44

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3. (2024高三下·衡阳开学考) 已知双曲线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的离心率为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024高三下·衡阳开学考) 设 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是两条不同的直线， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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5. (2024高三下·衡阳开学考) 我们定义一种新函数：形如 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数 $\text{[math]}$ 的图象，如图所示，下列结论错误的是（）

A . 图象具有对称性，对称轴是直线 $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，函数值y随x值的增大而增大 C . 当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，函数最小值是0 D . 当 $\text{[math]}$ 时，函数的最大值是4

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6. (2024高三下·衡阳开学考) 八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .给出下列结论，其中正确的结论为（）

A . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为与 $\text{[math]}$ 同向的单位向量）

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7. (2024高三下·衡阳开学考) 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高三下·衡阳开学考) 设抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为抛物线上一点且 $\text{[math]}$ 在第一象限， $\text{[math]}$ ，若将直线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到直线 $\text{[math]}$ ，且直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于 $\text{[math]}$ 两点，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. (2024高三下·衡阳开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称 C . $\text{[math]}$ 是偶函数 D . 不等式 $\text{[math]}$ 的解集是 $\text{[math]}$

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10. (2024高三下·衡阳开学考) 若复数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则下列正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 为实数 B . 若 $\text{[math]}$ 为纯虚数，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . 若复数 $\text{[math]}$ 对应的点位于第二象限，则 $\text{[math]}$ D . 若复数z对应的点位于直线 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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11. (2024高三下·衡阳开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有从小到大排列的四个不同的实数根 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. (2024高三下·衡阳开学考) 已知多项式 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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13. (2024高三下·衡阳开学考) 已知底面为正方形的四棱锥 $\text{[math]}$ 的五个顶点在同一个球面上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则四棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的体积为．

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14. (2024高三下·衡阳开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中的最大值，若函数 $\text{[math]}$ 有3个零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.

15. (2024高三下·衡阳开学考) 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所对的边长分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .．
（1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；
（2）是否存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为钝角三角形?若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，说明理由．

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16. (2024高三下·衡阳开学考) 如图，在多面体 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 是边长为4的菱形， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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17. (2024高三下·衡阳开学考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的右顶点为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）设椭圆的左焦点和左顶点分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线与C交于M，N两点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点P，证明：点P在定直线上．
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18. (2024高三下·衡阳开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ .
（1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；
（2）设 $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ ）是函数 $\text{[math]}$ 的两个极值点，证明： $\text{[math]}$ 恒成立.

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19. (2024高三下·衡阳开学考) 每年6月中旬到7月中旬，长江中下游区域内会出现一段连续阴雨天气，俗称“梅雨期”.依据某地 $\text{[math]}$ 河流“梅雨期”的水文观测点的历史统计数据，所绘制的频率分布直方图如图甲所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图乙所示.
1. （1）以频率作为概率，试求 $\text{[math]}$ 河流在“梅雨期”水位的第80百分位数并估计该地在今年“梅雨期”发生1级灾害的概率；
2. （2）该地 $\text{[math]}$ 河流域某企业，在今年“梅雨期”，若没受1，2级灾害影响，利润为1000万元；若受1级灾害影响，则亏损200万元；若受2级灾害影响则亏损2000万元.
  现此企业有如下三种应对方案：
  方案
  防控等级
  费用（单位：万元）
  方案一
  无措施
  0
  方案二
  防控1级灾害
  80
  方案三
  防控2级灾害
  200
  试问，若仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？并说明理由.
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