广东省深圳外国语学校高中园2025届高三入学摸底考试数学试卷

更新时间：2024-12-26 浏览次数：0 类型：开学考试

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. (2024高三上·深圳开学考) 已知集合 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三上·深圳开学考) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高三上·深圳开学考) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024高三上·深圳开学考) 设非零向量 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充要条件 D . 即不充分也不必要条件

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5. (2024高二上·镇海区期中) 等比数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正数，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 12 B . 10 C . 5 D . $\text{[math]}$

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6. (2024高三下·衡阳开学考) 设抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为抛物线上一点且 $\text{[math]}$ 在第一象限， $\text{[math]}$ ，若将直线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到直线 $\text{[math]}$ ，且直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于 $\text{[math]}$ 两点，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高三上·深圳开学考) 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高三上·深圳开学考) 设函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . 2 D . e

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二、选择题：本题共 3 小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. (2024高三上·深圳开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ （）

A . 单调减区间为 $\text{[math]}$ B . 在区间 $\text{[math]}$ 上的最小值为 $\text{[math]}$ C . 图象关于点 $\text{[math]}$ 中心对称 D . 极大值与极小值的和为 $\text{[math]}$

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10. (2024高三上·深圳开学考) 现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（）

A . 所有可能的方法有 $\text{[math]}$ 种 B . 若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种 C . 若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种 D . 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种

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11. (2024高三上·深圳开学考) 已知 $\text{[math]}$ 为双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点，过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 及其渐近线在第二象限的交点分别为 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一条渐近线 C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. (2024高三上·深圳开学考) 在数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则数列的通项公式为 $\text{[math]}$ ．

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13. (2024高三上·深圳开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位后关于 $\text{[math]}$ 轴对称，若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最小值为-1，则 $\text{[math]}$ 的最大值是.

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14. (2024高三上·深圳开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ 有且只有两个零点，则a的范围．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (2024高三上·遂宁月考) 在 $\text{[math]}$ 中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）求 $\text{[math]}$ 的值.
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16. (2024高三上·深圳开学考) 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 的中点，点E在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）当三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积最大时，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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17. (2024高三上·深圳开学考) 随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1．
1. （1）求一次数据能被软件准确分析的概率；
2. （2）在连续 $\text{[math]}$ 次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为X．
  ①求X的方差；
  ②当n为何值时， $\text{[math]}$ 的值最大?
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18. (2024高三上·深圳开学考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，上顶点为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 $\text{[math]}$ 与椭圆有唯一的公共点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴的正半轴交于点 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直的直线交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程．

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19. (2024高三上·钦州开学考) 牛顿（1643－1727）给出了牛顿切线法求方程的近似解：如图设 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一个零点，任意选取 $\text{[math]}$ 作为 $\text{[math]}$ 的初始近似值，过点 $\text{[math]}$ 作曲线 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点为横坐标为 $\text{[math]}$ ，称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的1次近似值，过点 $\text{[math]}$ 作曲线 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点为横坐标为 $\text{[math]}$ ，称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的2次近似值．一般地，过点 $\text{[math]}$ 作曲线 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点为横坐标为 $\text{[math]}$ ，就称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 次近似值，称数列 $\text{[math]}$ 为牛顿数列．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 的零点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请用牛顿切线法求 $\text{[math]}$ 的2次近似值；
2. （2）已知二次函数 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的牛顿数列，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
  （ⅰ）设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的解析式；
  （ⅱ）证明： $\text{[math]}$
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