湖北省武汉市硚口区部分高中2025届高三起点考试数学试卷

更新时间：2024-09-10 浏览次数：32 类型：开学考试

一、单选题

1. (2024高三上·硚口开学考) 若全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三上·硚口开学考) 复数 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为虚数单位）的共轭复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点在（）

A . 第四象限 B . 第三象限 C . 第二象限 D . 第一象限

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3. (2024高三上·硚口开学考) 已知向量 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 20 D . 5

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4. (2024高三上·硚口开学考) 若 $\text{[math]}$ 为第二象限角，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高三上·硚口开学考) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的右顶点为 $\text{[math]}$ ，若以点 $\text{[math]}$ 为圆心，以 $\text{[math]}$ 为半径的圆与 $\text{[math]}$ 的一条渐近线交于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高三上·青原月考) 若曲线 $\text{[math]}$ 的一条切线为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为自然对数的底数），其中 $\text{[math]}$ 为正实数，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高三上·硚口开学考) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 若 $\text{[math]}$ 为等差数列，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ 为等差数列，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 为等比数列，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 为等比数列，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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8. (2024高三上·广东月考) 已知奇函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，对任意的 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2024高三上·硚口开学考) 下列论述正确的有（）

A . 若 $\text{[math]}$ 两组成对数据的样本相关系数分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 组数据比 $\text{[math]}$ 组数据的相关性较强 B . 数据 $\text{[math]}$ 的第60百分位数为38 C . 若随机变量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若样本数据 $\text{[math]}$ 的方差为1，则数据 $\text{[math]}$ 的方差为4

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10. (2024高三上·硚口开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称 B . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上不单调 D . 在 $\text{[math]}$ ，方程 $\text{[math]}$ （m为常数）最多有4个解

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11. (2024高三上·硚口开学考) 已知圆 $\text{[math]}$ ，斜率为k的直线l经过圆O内与O点不重合且不在坐标轴上的一个定点P，且与圆O相交于A、B两点，下列选项中正确的是（）

A . 若r为定值，则存在k，使得 $\text{[math]}$ B . 若k为定值，则存在r，使得 $\text{[math]}$ C . 若r为定值，则存在k，使得圆O上恰有三个点到l的距离均为 $\text{[math]}$ D . 若k为定值，则存在r，使得圆O上恰有三个点到l的距离均为 $\text{[math]}$

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三、填空题

12. (2024高三上·硚口开学考) 设椭圆C： $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ， P是C上的点，PF₂⊥F₁F₂ ， $\text{[math]}$ ，则C的离心率为．

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13. (2024高三上·硚口开学考) 已知正三棱锥 $\text{[math]}$ ABC，点P，A，B，C都在半径为 $\text{[math]}$ 的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为．

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14. (2024高三上·硚口开学考) $\text{[math]}$ 为锐角三角形，其三个内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 周长的取值范围为.

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四、解答题

15. (2024高三上·硚口开学考) 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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16. (2024高三上·硚口开学考) 第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项．共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民．武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：
组别
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
频数
5
30
40
50
45
20
10
（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设 $\text{[math]}$ 分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求 $\text{[math]}$ 的值（ $\text{[math]}$ 的值四舍五入取整数），并计算 $\text{[math]}$ ；
（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于 $\text{[math]}$ 的可以获得1次抽奖机会，得分不低于 $\text{[math]}$ 的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为 $\text{[math]}$ ，抽中价值为30元的纪念品B的概率为 $\text{[math]}$ ．现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望．
（参考数据： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．）

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17. (2024高三上·硚口开学考) 已知曲线 $\text{[math]}$ 上的点到点 $\text{[math]}$ 的距离比到直线 $\text{[math]}$ 的距离小 $\text{[math]}$ 为坐标原点.直线 $\text{[math]}$ 过定点 $\text{[math]}$ .
1. （1）直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 仅有一个公共点，求直线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）曲线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，试分别判断直线 $\text{[math]}$ 的斜率之和､斜率之积是否为定值？并说明理由.
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18. (2024高三上·硚口开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）若曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴有两个不同的交点，求证：曲线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 共有三个不同的交点.
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19. (2024高三上·硚口开学考) 定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列 $\text{[math]}$ 经过第一次“和扩充”后得到数列 $\text{[math]}$ ；第二次“和扩充”后得到数列 $\text{[math]}$ .设数列 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 次“和扩充”后得到的数列的项数为 $\text{[math]}$ ，所有项的和为 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求正整数 $\text{[math]}$ 的最小值；
3. （3）是否存在数列 $\text{[math]}$ ，使得数列 $\text{[math]}$ 为等比数列？请说明理由.
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