广东省部分学校2024-2025学年高二上学期第一次联考数学...

更新时间：2024-11-08 浏览次数：1 类型：月考试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. (2024高二上·广东月考) 已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

答案解析收藏纠错 + 选题
2. (2024高二上·广东月考) $\text{[math]}$ 是被长为1的正方体 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 上一点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题
3. (2024高二上·广东月考) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 上的投影向量为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题
4. (2024高二上·广东月考) 在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上的一点，且 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题
5. (2024高二上·广东月考) 已知四棱锥 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 为平行四边形， $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 用 $\text{[math]}$ 为基底表示为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题
6. (2024高二上·广东月考) 在四面体 $\text{[math]}$ 中，空间的一点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 共面，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题
7. (2024高二上·广东月考) 已知向量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题
8. (2024高二上·广东月考) “长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球 $\text{[math]}$ ）.如图：已知粽子三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为所在棱中点， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为所在棱靠近 $\text{[math]}$ 端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面 $\text{[math]}$ 或平面 $\text{[math]}$ 切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（）.

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. (2024高二上·广东月考) 如图，在棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ C . 平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量是 $\text{[math]}$ D . 点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题
10. (2024高二上·广东月考) 在正三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上 B . 当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为定值 C . 当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 在以 $\text{[math]}$ 的中点为端点的线段上 D . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题
11. (2024高二上·广东月考) 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ C . 点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离是 $\text{[math]}$ D . 异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. (2024高二上·广东月考) 正三棱柱 $\text{[math]}$ 的侧棱长为2，底面边长为1， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．在直线 $\text{[math]}$ 上求一点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的长为时，使 $\text{[math]}$ ．

答案解析收藏纠错 + 选题
13. (2024高二上·广东月考) 四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 是正方形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的重心，则 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角 $\text{[math]}$ 的正弦值为.

答案解析收藏纠错 + 选题
14. (2024高二上·广东月考) 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮那，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的正切值均为 $\text{[math]}$ ，则该五面体的所有棱长之和为.

答案解析收藏纠错 + 选题

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15. (2024高二上·广东月考) 如图，在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上移动.
1. （1）当点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 的中点时，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的夹角的余弦值；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 为何值时，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值最小，并求出最小值.
答案解析收藏纠错 + 选题
16. (2024高二上·广东月考) 如图所示，直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）求BN的长；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的值．
3. （3）求证：BN⊥平面 $\text{[math]}$ ．
答案解析收藏纠错 + 选题
17. (2024高二上·广东月考) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正切值；
2. （2）在 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ？若存在，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，说明理由．
答案解析收藏纠错 + 选题
18. (2024高二上·广东月考) 如图1，在边长为4的菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点M，N分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．沿 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 翻折到 $\text{[math]}$ 的位置，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，得到如图2 所示的五棱锥 $\text{[math]}$ ．
1. （1）在翻折过程中是否总有平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ？证明你的结论；
2. （2）若平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 上是否存在一点Q，使得平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．
答案解析收藏纠错 + 选题
19. (2024高二上·广东月考) 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值的最大值；
3. （3）若直线 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 交于M点， $\text{[math]}$ 于点H，求线段 $\text{[math]}$ 长的最小值．
答案解析收藏纠错 + 选题