勾股树模型—北师大版数学八（上）知识点训练

更新时间：2024-10-28 浏览次数：92 类型：复习试卷

一、选择题

1. (2024八下·端州期中) 如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、2、3，则最大正方形E的面积是（）

A . 12 B . 16 C . 25 D . 38

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2. (2024八下·湛江期中) 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为16cm，则正方形A ， B ， C ， D的面积之和为（）cm² ．

A . 16 B . 256 C . 32 D . 64

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3. (2024八下·江岸期中) 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2024次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（）

A . 2025 B . 2024 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2023·深圳模拟) 如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形N的边长为定值n ，小正方形B ， C的边长分别为b ， c ．已知 $\text{[math]}$ ，当角 $\text{[math]}$ 变化时，则b与c满足的关系式是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024八下·丰都县月考) 如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为2．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的边长是（）

A . 2 B . 4 C . 6 D . 8

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二、填空题

6. (2024八上·光明月考) 如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则 $\text{[math]}$ 的值为

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7. (2024八上·南海月考) 如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为②．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的面积是．

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8. (2023八下·黄埔期中) 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则正方形E的边长是．

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9. (2024八下·花溪月考) “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名.假设如图所示的分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为.

第一代勾股树　第二代勾股树　第三代勾股树

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10. (2024八下·新宁期中) 如图所示，正方形ABCD的边长为1，其面积标记为 $\text{[math]}$ 以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 $\text{[math]}$ …，按照此规律继续下去，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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11. (2024·大庆) 如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为．

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三、解答题

12. (2023八上·南海月考) 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
1. （1） ①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足 $\text{[math]}$ 的有________个．
  ②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直角三角形面积为 $\text{[math]}$ ，也满足 $\text{[math]}$ 吗？若满足，请证明；若不满足，请求出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量关系．
2. （2）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则 $\text{[math]}$ __________．
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试卷信息

小学

初中

高中

勾股树模型—北师大版数学八（上）知识点训练

副标题：

*注意事项：

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