2017高考数学备考复习（理科）专题十四：圆锥曲线与方程

更新时间：2017-12-23 浏览次数：1340 类型：一轮复习

一、单选题

1. 与椭圆 $\text{[math]}$ 共焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，弦AB过 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的内切圆周长为 $\text{[math]}$ ， A，B两点的坐标分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ，则它的渐近线的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4.
如图，椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F₁ ， F₂ ，若|AF₁|，|F₁F₂|，|F₁B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 若椭圆 $\text{[math]}$ （a＞b＞0）的离心率为 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为（　　）

A . y=± $\text{[math]}$ x B . y=± $\text{[math]}$ x C . y=± $\text{[math]}$ x D . y=±x

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6. 抛物线 $\text{[math]}$ 的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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7. 过双曲线 x²- $\text{[math]}$ =1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|=（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 $\text{[math]}$ C . 6 D . 4 $\text{[math]}$

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8. 已知A，B，P是双曲线 $\text{[math]}$ 上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积k_PA•k_PB= $\text{[math]}$ ，则该双曲线的离心率为(　　)

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 正方体 $\text{[math]}$ 中，M为侧面 $\text{[math]}$ 所在平面上的一个动点，且M到平面 $\text{[math]}$ 的距离是M到直线BC距离的2倍，则动点M的轨迹为（）

A . 椭圆 B . 双曲线 C . 抛物线 D . 圆

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10.
如图， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与双曲线的左、右两个分支分别交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为等边三角形，则该双曲线的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 椭圆 $\text{[math]}$ 的弦被点 $\text{[math]}$ 平分，则此弦所在的直线方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 若双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点P在双曲线E上，且 $\text{[math]}$ =3，则 $\text{[math]}$ 等于（　）

A . 11 B . 9 C . 5 D . 3

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13. 已知抛物线y²=2px(p>0)的准线经过点（-1，1），则抛物线焦点坐标为（）

A . （-1，0） B . （1，0） C . （0，-1） D . （0，1）

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14. 若双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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15. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的准线过双曲线 $\text{[math]}$ 的左焦点且与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为 $\text{[math]}$ ，则双曲线的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . 4 C . 3 D . 2

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16. (2020高二下·静海月考) 已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为 $\text{[math]}$ ， E的右焦点与抛物线C：y²=8x的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个交点，则|AB|= ( )

A . 3 B . 6 C . 9 D . 12

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17. (2016·新课标Ⅲ卷理) 已知O为坐标原点，F是椭圆C： $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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18. (2020高二上·四川期中) 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 $\text{[math]}$ ，则该椭圆的离心率为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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19. (2016·德州模拟) 已知双曲线与椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点重合，它们的离心率之和为 $\text{[math]}$ ，则双曲线的渐近线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . y= $\text{[math]}$

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20. (2012·山东理) 已知椭圆C： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\text{[math]}$ ，与双曲线x²﹣y²=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）

A . $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1 B . $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1 C . $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1 D . $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1

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二、填空题

21. 若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是 $\text{[math]}$ ，则椭圆的标准方程是

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22.
如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．

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23. 平面直角坐标系xOy中，双曲线C_1：的渐近线与抛物线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的垂心为 $\text{[math]}$ 的焦点，则 $\text{[math]}$ 的离心率为 .

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24.
一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分，它的方程是x²=2y，y∈[0，10]，在杯内放入一个清洁球，要求清洁球能擦净酒杯的最底部（如图），则清洁球的最大半径为

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25. (2013·浙江理) 设F为抛物线C：y²=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于．

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三、综合题

26. (2016·新课标Ⅲ卷理) 已知抛物线C：y²=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l₁ ， l₂分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
1. （1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
2. （2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
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27. (2012·新课标卷理) 设抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；
1. （1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为 $\text{[math]}$ ，求p的值及圆F的方程；
2. （2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．
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28. (2016高二下·重庆期中) 已知椭圆C： $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA的距离为 $\text{[math]}$ b．
1. （1）求椭圆C的离心率；
2. （2）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上．
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29. (2012·天津理) 设椭圆 $\text{[math]}$ 的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．
1. （1）若直线AP与BP的斜率之积为 $\text{[math]}$ ，求椭圆的离心率；
2. （2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞ $\text{[math]}$ ．
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30. (2012·江西理) 已知三点O（0，0），A（﹣2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ •（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）+2．
1. （1）求曲线C的方程；
2. （2）动点Q（x₀ ， y₀）（﹣2＜x₀＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为直线l：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值．若不存在，说明理由．
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31. (2012·山东理) 在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线C的方程；
2. （2）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；
3. （3）若点M的横坐标为 $\text{[math]}$ ，直线l：y=kx+ $\text{[math]}$ 与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当 $\text{[math]}$ ≤k≤2时，|AB|²+|DE|²的最小值．
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32. (2013·辽宁理) 如图，抛物线C₁：x²=4y，C₂：x²=﹣2py（p＞0），点M（x₀ ， y₀）在抛物线C₂上，过M作C₁的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x₀=1﹣ $\text{[math]}$ 时，切线MA的斜率为﹣ $\text{[math]}$ ．
1. （1）求P的值；
2. （2）当M在C₂上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．
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