2019年高考文数真题试卷（全国Ⅱ卷）

更新时间：2021-05-20 浏览次数：1831 类型：高考真卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

1. (2019·全国Ⅱ卷文) 已知集合A={x|x>-1}，B={x|x<2}，则A∩B=（）

A . （-1，+∞） B . （ -∞，2） C . （ -1，2） D . $\text{[math]}$

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2. (2019·全国Ⅱ卷文) 设z=i（2+i），则 $\text{[math]}$ =（）

A . 1+2i B . -1+2i C . 1-2i D . -1-2i

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3. (2019·全国Ⅱ卷文) 已知向量 $\text{[math]}$ =（2，3）， $\text{[math]}$ =（3，2），则| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |=（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . 5 $\text{[math]}$ D . 50

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4. (2023高二上·梅河口开学考) 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标。若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高三上·罗湖月考) 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测。
甲：我的成绩比乙高。

乙：丙的成绩比我和甲的都高。

丙：我的成绩比乙高。

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）

A . 甲、乙、丙 B . 乙、甲、丙 C . 丙、乙、甲 D . 甲、丙、乙

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6. (2019·全国Ⅱ卷文) 设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）= $\text{[math]}$ -1，则当x<0时，f（x）=（）

A . $\text{[math]}$ -1 B . $\text{[math]}$ +1 C . - $\text{[math]}$ -1 D . - $\text{[math]}$ +1

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7. 设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）

A . α内有无数条直线与β平行 B . α内有两条相交直线与β平行 C . α，β平行于同一条直线 D . α，β垂直于同一平面

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8. (2019·全国Ⅱ卷文) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是函数f（x）= sinωx（ω>0）两个相邻的极值点，则ω（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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9. (2019高二上·寿光月考) 若抛物线y²=2px(p>0)的焦点是椭圆 $\text{[math]}$ 的一个焦点，则p=（）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 8

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10. (2019·全国Ⅱ卷文) 曲线y=2sinx+cosx在点（π，-1）处的切线方程为（）

A . x-y-π-1=0 B . 2x-y-2π-1=0 C . 2x+y-2π+1=0 D . x+y-π+1=0

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11. (2022高三上·湖北开学考) 已知α∈(0, $\text{[math]}$ )，2sin2α=cos2α+1，则sinα=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2020高二上·迁安期末) 设F为双曲线C： $\text{[math]}$ 的右焦点， $\text{[math]}$ 为坐标原点，以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与圆 $\text{[math]}$ 交于P，Q两点.若 $\text{[math]}$ ，则C的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13. (2019·全国Ⅱ卷文) 若变量x，y满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则，z=3x-y的最大值是。

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14. (2021高二上·浦东期末) 我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.

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15. (2019·全国Ⅱ卷文) △ABC的内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =

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16. (2019·全国Ⅱ卷文) 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面，其棱长为.

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三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17. (2019·全国Ⅱ卷文) 如图，长方体 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 是正方形，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 。
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积。
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18. (2024高二下·江阳期末) 已知 $\text{[math]}$ 是各项均为正数的等比数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 。
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求数列{ $\text{[math]}$ }的前n项和。
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19. (2019·全国Ⅱ卷文) 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表。
y的分组 [-0.20，0) [0，0.20) [0.20，0.40) [0.40，0.60) [0.60，0.80)
企业数 2 24 53 14 7
附： $\text{[math]}$
1. （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;
2. （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）
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20. (2019·全国Ⅱ卷文) 已知 $\text{[math]}$ 是椭圆C： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的两个焦点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ 为坐标原点。
1. （1）若 $\text{[math]}$ 为等边三角形，求 $\text{[math]}$ 的离心率；
2. （2）如果存在点P，使得 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的面积等于16，求 $\text{[math]}$ 的值和a的取值范围。
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21. (2019·全国Ⅱ卷文) 已知函数 $\text{[math]}$ ，证明：
1. （1） $\text{[math]}$ 存在唯一的极值点；
2. （2） $\text{[math]}$ 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
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四、选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. (2019·全国Ⅱ卷文) [选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，O为极点，点 $\text{[math]}$ 在曲线 $\text{[math]}$ 上，直线l过点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 垂直，垂足为P.
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 及l的极坐标方程；
2. （2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
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23. (2019·全国Ⅱ卷文) 已知 $\text{[math]}$
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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