湖北省“宜荆荆恩”2022-2023学年高三上学期数学起点考...

更新时间：2022-10-16 浏览次数：59 类型：开学考试

一、单选题

1. (2022高三上·湖北开学考) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2022高三上·湖北开学考) 已知 $\text{[math]}$ 为虚数单位，复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 25

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3. (2022高三上·湖北开学考) 已知 $\text{[math]}$ 是三个不同的平面， $\text{[math]}$ 是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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4. (2022高三上·湖北开学考) 已知α∈(0, $\text{[math]}$ )，2sin2α=cos2α+1，则sinα=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2022高三上·湖北开学考) 已知数列 $\text{[math]}$ 是公差不为零的等差数列， $\text{[math]}$ 为等比数列，且 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的前10项和为（）

A . 1078 B . 1068 C . 566 D . 556

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6. (2022高三上·湖北开学考) 我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭，令上方六尺，问亭方几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的体积是（注：1丈=10尺）

A . 1946立方尺 B . 3892立方尺 C . 7784立方尺 D . 11676立方尺

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7. (2022高三上·湖北开学考) 已知 $\text{[math]}$ 是自然对数的底数，若 $\text{[math]}$ ，则有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2022高三上·湖北开学考) 一个袋子中装有形状大小完全相同的4个小球，其中2个黑球，2个白球.第一步：从袋子里随机取出2个球，将取出的白球涂黑后放回袋中，取出的黑球直接放回袋中；第二步：再从袋子里随机取出2个球，计第二步取出的2个球中白球的个数为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2022高三上·湖北开学考) 下列说法正确的是（）

A . 数据7，4，2，9，1，5，8，6的第75百分位数为7 B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 相互独立 D . 根据分类变量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的成对样本数据，计算得到 $\text{[math]}$ .依据 $\text{[math]}$ 的独立性检验 $\text{[math]}$ ，可判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有关且犯错误的概率不超过0.05

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10. (2024高三下·广州开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . f（x）的最大值为2 B . f（x）在 $\text{[math]}$ 上单调递增 C . f（x）在 $\text{[math]}$ 上有4个零点 D . 把f（x）的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称

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11. (2022高三上·湖北开学考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左､右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，长轴长为4，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 外，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上，则（）

A . 椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率的取值范围是 $\text{[math]}$ B . 当椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ C . 存在点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最小值为1

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12. (2022高三上·湖北开学考) 函数 $\text{[math]}$ 及其导函数 $\text{[math]}$ 的定义域均为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是奇函数，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则以下结论正确的有（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称 B . 若 $\text{[math]}$ 的导函数为 $\text{[math]}$ ，定义域为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 中心对称 D . 设数列 $\text{[math]}$ 为等差数列，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2022高三上·湖北开学考) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的点，且 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. (2024高三上·北京市期中) 已知 $\text{[math]}$ 展开式中各项系数和为243，则展开式中的第3项为.

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15. (2022高三上·湖北开学考) 已知圆 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作不过圆心的直线交圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，则 $\text{[math]}$ 面积的取值范围是.

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16. (2022高三上·铁岭月考) 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，球 $\text{[math]}$ 为三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球， $\text{[math]}$ 是球 $\text{[math]}$ 上任一点，若三棱锥 $\text{[math]}$ 体积的最大值是 $\text{[math]}$ ，则球 $\text{[math]}$ 的体积为.

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四、解答题

17. (2022高三上·湖北开学考) 已知数列 $\text{[math]}$ 前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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18. (2022高三上·湖北开学考) 如图， $\text{[math]}$ 是圆锥的顶点， $\text{[math]}$ 是圆锥底面的圆心，其轴截面是正三角形，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是底面圆 $\text{[math]}$ 上不同的两点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，直线 $\text{[math]}$ 与圆锥底面所成角 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.
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19. (2022高三上·湖北开学考) 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 最小值.
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20. (2022高三上·湖北开学考) 设某种植物幼苗从观察之日起，第 $\text{[math]}$ 天的高度为 $\text{[math]}$ （cm），测得的一些数据如下表所示：
第 $\text{[math]}$ 天
1
4
9
16
25
36
49
高度 $\text{[math]}$ （cm）
0
4
7
9
11
12
13
附：对于一组数据 $\text{[math]}$ ，其经验回归直线方程 $\text{[math]}$ 的斜率的最小二乘估计为 $\text{[math]}$ .
1. （1）根据以上数据判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 哪一个更适宜作为 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的经验回归方程（给出判断即可，不需说明理由）？
2. （2）根据（1）的判断，建立 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的经验回归方程，估计第100天幼苗的高度（估计的高度精确到小数点后第二位）；
3. （3）在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机选取其中的4个点，记这4个点中幼苗的高度大于 $\text{[math]}$ 的点的个数为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望.
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21. (2022高三上·湖北开学考) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 有相同的渐近线，且过点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 上不同于 $\text{[math]}$ 的两点，且 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，证明：存在定点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 为定值.
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22. (2022高三上·湖北开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ 是自然对数的底数.
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，设 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求证：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .
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