江苏省南京市2020届高三下学期数学6月第三次模拟考试试卷

更新时间：2020-06-30 浏览次数：213 类型：高考模拟

一、填空题

1. (2020·南京模拟) 已知集合A＝ $\text{[math]}$ ，B＝ $\text{[math]}$ ，则A $\text{[math]}$ B＝．

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2. (2020·南京模拟) 若 $\text{[math]}$ （i是虚数单位）是实数，则实数a的值为．

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3. (2020·南京模拟) 某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为．

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4. (2020·南京模拟) 如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为．

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5. (2020·南京模拟) 若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为．

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6. (2020·南京模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ (其中 $\text{[math]}$ ＞0， $\text{[math]}$ )部分图象如图所示，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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7. (2020·南京模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 为等比数列，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列，则 $\text{[math]}$ 的前n项和为．

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8. (2020·南京模拟) 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 $\text{[math]}$ (a＞0，b＞0)的右焦点为F ．若以F为圆心，a为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A ， B两点，且AB＝2b ，则该双曲线的离心率为．

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9. (2020·南京模拟) 若正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱长为2，则三棱锥A—B₁CD₁的体积为．

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10. (2020·南京模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数x的取值范围为．

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11. (2020·南京模拟) 在平面直角坐标系xOy中，A ， B是圆O：x²＋y²＝2上两个动点，且 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，若A ， B两点到直线l：3x＋4y﹣10＝0的距离分别为d₁ ， d₂ ，则d₁＋d₂的最大值为．

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12. (2020·南京模拟) 若对任意a $\text{[math]}$ [e ， $\text{[math]}$ )（e为自然对数的底数），不等式 $\text{[math]}$ 对任意x $\text{[math]}$ R恒成立，则实数b的取值范围为．

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13. (2020·南京模拟) 已知点P在边长为4的等边三角形ABC内，满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，延长AP交边BC于点D ，若BD＝2DC ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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14. (2020·南京模拟) 在△ABC中， $\text{[math]}$ ，D是BC的中点．若AD $\text{[math]}$ BC ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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二、解答题

15. (2020高一上·梧州期末) 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD ， PA⏊PD ， E ， F分别为AD ， PB的中点．求证：
1. （1） EF//平面PCD；
2. （2）平面PAB⏊平面PCD ．
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16. (2020高一下·怀化期末) 已知向量 $\text{[math]}$ ＝(cosx ， sinx)， $\text{[math]}$ ＝(cosx ， ﹣sinx)，函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，x $\text{[math]}$ (0， $\text{[math]}$ )，求tan(x＋ $\text{[math]}$ )的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ )， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ (0， $\text{[math]}$ )，求 $\text{[math]}$ 的值．
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17. (2020·南京模拟) 如图，港口A在港口O的正东100海里处，在北偏东方向有条直线航道OD ，航道和正东方向之间有一片以B为圆心，半径为 $\text{[math]}$ 海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中OB＝ $\text{[math]}$ 海里，tan∠AOB＝ $\text{[math]}$ ，cos∠AOD＝ $\text{[math]}$ ，现一艘科考船以 $\text{[math]}$ 海里/小时的速度从O出发沿OD方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇.
1. （1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由；
2. （2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等x小时出发，求x的最小值.
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18. (2020·南京模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： $\text{[math]}$ (a＞b＞0)经过点(﹣2，0)和 $\text{[math]}$ ，椭圆C上三点A ， M ， B与原点O构成一个平行四边形AMBO.
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）若点B是椭圆C左顶点，求点M的坐标；
3. （3）若A ， M ， B ， O四点共圆，求直线AB的斜率.
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19. (2020·南京模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ (a $\text{[math]}$ R)，其中e为自然对数的底数．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的单调减区间；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 的定义域为R ，且 $\text{[math]}$ ，求a的取值范围；
3. （3）证明：对任意 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．
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20. (2020·南京模拟) 若数列 $\text{[math]}$ 满足n≥2时， $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ (n $\text{[math]}$ )为 $\text{[math]}$ 的“L数列”．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的“L数列”为 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的“L数列”为递增数列，求k的取值范围；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，其中p＞1，记 $\text{[math]}$ 的“L数列”的前n项和为 $\text{[math]}$ ，试判断是否存在等差数列 $\text{[math]}$ ，对任意n $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 成立，并证明你的结论．
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21. (2020·南京模拟) 已知矩阵A＝ $\text{[math]}$ ，a $\text{[math]}$ R ．若点P(1，1)在矩阵A的变换下得到点P′(0，﹣2)．
1. （1）求矩阵A；
2. （2）求点Q(0，3)经过矩阵A的2次变换后对应点Q′的坐标．
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22. (2020·南京模拟) 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），直线l的参数方程为 $\text{[math]}$ （t为参数），求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．

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23. (2020·南京模拟) 已知为a ， b非负实数，求证： $\text{[math]}$ ．

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24. (2020·南京模拟) 如图，在直三棱柱中ABC—A₁B₁C₁ ， AB⏊AC ， AB＝3，AC＝4，B₁C⏊AC₁ ．
1. （1）求AA₁的长；
2. （2）试判断在侧棱BB₁上是否存在点P ，使得直线PC与平面AA₁C₁C所成角和二面角B—A₁C—A的大小相等，并说明理由．
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25. (2022高二上·湖北月考) 口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n＋1(n $\text{[math]}$ )次．若取出白球的累计次数达到n＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）证明： $\text{[math]}$ ．
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