2016年高考理数真题试卷（全国甲卷）

更新时间：2016-06-14 浏览次数：1615 类型：高考真卷

一、单选题

1. (2016·新课标Ⅰ卷理) 已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（　　）

A . （﹣3，1） B . （﹣1，3） C . （1，+∞） D . （﹣∞，﹣3）

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2. (2016·新课标Ⅰ卷理) 已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B=（　　）

A . {1} B . {1，2} C . {0，1，2，3} D . {﹣1，0，1，2，3}

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3. (2016·新课标Ⅰ卷理) 已知向量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则m=（）

A . －8 B . －6 C . 6 D . 8

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4. (2020高三上·河北期末) 圆 $\text{[math]}$ 的圆心到直线 $\text{[math]}$ 的距离为1，则a=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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5. (2022高二下·长春月考)
如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）

A . 24 B . 18 C . 12 D . 9

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6. (2016·新课标Ⅰ卷理)
右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）

A . 20π B . 24π C . 28π D . 32π

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7. (2016·新课标Ⅰ卷理) 若将函数y=2sin 2x的图像向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，则评议后图象的对称轴为（）

A . x= $\text{[math]}$ – $\text{[math]}$ (k∈Z) B . x= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ (k∈Z) C . x= $\text{[math]}$ – $\text{[math]}$ (k∈Z) D . x= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ (k∈Z)

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8. (2016·新课标Ⅰ卷理)
中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）

A . 7 B . 12 C . 17 D . 34

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9. (2016·新课标Ⅰ卷理) 若cos( $\text{[math]}$ –α)= $\text{[math]}$ ，则sin 2α=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . – $\text{[math]}$ D . – $\text{[math]}$

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10. (2020高一下·永寿月考) 从区间 $\text{[math]}$ 随机抽取2n个数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ ，构成n个数对 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ ，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 $\text{[math]}$ 的近似值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2019高二上·泉港月考) 已知F₁ ， F₂是双曲线E $\text{[math]}$ 的左，右焦点，点M在E上，M F₁与 $\text{[math]}$ 轴垂直，sin $\text{[math]}$ ，则E的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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12. (2020高二上·舒城开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 图像的交点为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
则 $\text{[math]}$ （）

A . 0 B . m C . 2m D . 4m

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二、填空题

13. (2021高二下·番禺期末) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA= $\text{[math]}$ ，cosC= $\text{[math]}$ ，a=1，则b=．

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14. (2016·新课标Ⅰ卷理) α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n ， m⊥α ， n∥β ，那么α⊥β.
②如果m⊥α ， n∥α ，那么m⊥n.
③如果α∥β ， m $\text{[math]}$ α ，那么m∥β.
④如果m∥n ， α∥β ，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）

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15. (2016·新课标Ⅰ卷理) 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是。

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16. (2019高二上·西安月考) 若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+2）的切线，则b=。

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三、综合题

17. (2016·新课标Ⅰ卷理) $\text{[math]}$ 为等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，且 $\text{[math]}$ 记 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 表示不超过x的最大整数，如 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前1 000项和.
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18. (2016·新课标Ⅰ卷理) 某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
$\text{[math]}$ 5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
$\text{[math]}$ 5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0. 05
1. （1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
2. （2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
3. （3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
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19. (2016·新课标Ⅰ卷理)
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF= $\text{[math]}$ ，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△ $\text{[math]}$ 的位置， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面ABCD；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.
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20. (2016·新课标Ⅰ卷理) 已知椭圆E： $\text{[math]}$ 的焦点在 $\text{[math]}$ 轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A ， M两点，点N在E上，MA⊥NA.
1. （1）当t=4， $\text{[math]}$ 时，求△AMN的面积；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求k的取值范围.
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21. (2016·新课标Ⅰ卷理)
1. （1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性，并证明当 $\text{[math]}$ >0时， $\text{[math]}$
2. （2）证明：当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 有最小值.设g（x）的最小值为 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的值域.
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22. (2016·新课标Ⅰ卷理)
选修4-1：集合证明选讲
如图，在正方形ABCD ， E，G分别在边DA ， DC上（不与端点重合），且DE=DG ，过D点作DF⊥CE ，垂足为F.
1. （1）证明：B，C，E，F四点共圆；
2. （2）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.
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23. (2016·新课标Ⅰ卷理) 选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）²+y²=25.
1. （1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
2. （2）直线l的参数方程是 $\text{[math]}$ （t为参数），l与C交于A、B两点，∣AB∣= $\text{[math]}$ ，求l的斜率。
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24. (2016·新课标Ⅰ卷理) 选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)= ∣x- $\text{[math]}$ ∣+∣x+ $\text{[math]}$ ∣，M为不等式f(x) ＜2的解集.
1. （1）求M；
2. （2）证明：当a ， b∈M时，∣a+b∣＜∣1+ab∣。
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