湖南省永州市2021届高三下学期数学二模试卷

更新时间：2021-04-25 浏览次数：164 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2022高三上·海口) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的子集，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2022高一下·增城期中) 若复数 $\text{[math]}$ 对应的点是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . -1 D . 1

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3. (2021·永州模拟) 在边长为3的等边三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2021·永州模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2021·永州模拟) 2019年湖南等8省公布了高考改革综合方案，将采取“ $\text{[math]}$ ”模式，即语文､数学､英语必考，考生首先在物理､历史中选择1门，然后在政治､地理､化学､生物中选择2门.则某同学选到物理､地理两门功课的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2021·永州模拟) 我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（）

A . 小寒比大寒的晷长长一尺 B . 春分和秋分两个节气的晷长相同 C . 小雪的晷长为一丈五寸 D . 立春的晷长比立秋的晷长长

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7. (2021·永州模拟) 曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线 $\text{[math]}$ 过原点，则 $\text{[math]}$ 的方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2021·永州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值为 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值个数最多为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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9. (2021·永州模拟) 抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是其上一动点，点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的最小值是2 B . 动点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离最小值为3 C . 存在直线 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点关于直线 $\text{[math]}$ 对称 D . 与抛物线 $\text{[math]}$ 分别相切于 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 两点的两条切线交于点 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 过定点 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 的准线上

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二、多选题

10. (2021·永州模拟) 下列说法正确的是（）

A . 线性回归方程 $\text{[math]}$ 对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点 B . 10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取2件，恰好取到1件次品的概率为 $\text{[math]}$ C . 某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一､高二､高三年级学生之比为 $\text{[math]}$ ，则应从高二年级中抽取20名学生 D . 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”是互斥而不对立的事件

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11. (2021·永州模拟) 关于多项式 $\text{[math]}$ 的展开式，下列结论正确的是（）

A . 各项系数之和为1 B . 二项式系数之和为 $\text{[math]}$ C . 存在常数项 D . $\text{[math]}$ 的系数为12

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12. (2021·永州模拟) $\text{[math]}$ 是正方体 $\text{[math]}$ 中线段 $\text{[math]}$ 上的动点(点 $\text{[math]}$ 异于点 $\text{[math]}$ )，下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角是 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的大小与 $\text{[math]}$ 点位置有关 D . 二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2021·永州模拟) 若对 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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14. (2021高二上·宝应期中) 大约在2000多年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100多年.现有一动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为坐标原点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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15. (2021·永州模拟) 已知 $\text{[math]}$ 为坐标原点，双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，从双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点 $\text{[math]}$ 引渐近线的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的方程为.

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16. (2021·永州模拟) 定义方程 $\text{[math]}$ 的实数根 $\text{[math]}$ 叫做函数 $\text{[math]}$ 的“新驻点”.
1. （1）设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的“新驻点”为；
2. （2）如果函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的“新驻点”分别为 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的大小关系是.
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四、解答题

17. (2022高三上·玉溪月考) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期；
2. （2）在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 所对边分别为 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 外接圆的面积.
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18. (2021·永州模拟) 给定三个条件：① $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列，② $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ ，从上述三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.
问题：设公差不为零的等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，___________.
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
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19. (2021·永州模拟) 为快速控制新冠病毒的传播，全球多家公司进行新冠疫苗的研发.某生物技术公司研制出一种新冠灭活疫苗，为了检测其质量指标，从中抽取了100支该疫苗样本，经统计质量指标得到如图所示的频率分布直方图.
1. （1）求所抽取的样本平均数 $\text{[math]}$ (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
2. （2）将频率视为概率，若某家庭购买4支该疫苗，记这4支疫苗的质量指标值位于 $\text{[math]}$ 内的支数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望.
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20. (2021·永州模拟) 在如图所示的圆柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的两个三等分点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是圆柱 $\text{[math]}$ 的母线.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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21. (2021·永州模拟) 某城市决定在夹角为 $\text{[math]}$ 的两条道路 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示， $\text{[math]}$ 千米， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在椭圆上，且 $\text{[math]}$ 的倾斜角为 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ 千米，为了不破坏道路 $\text{[math]}$ ，求椭圆长半轴长的最大值；
2. （2）若椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ，当线段 $\text{[math]}$ 长为何值时，游乐区域 $\text{[math]}$ 的面积最大？
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22. (2021·永州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调性；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，讨论 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的零点个数.
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