北京市东城区2021届高三数学一模试卷

更新时间：2021-04-29 浏览次数：159 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2021·东城模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2022高三上·西城期末) 在复平面内，复数 $\text{[math]}$ 对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. (2021·东城模拟) 某中学高一､高二和高三各年级人数见下表.采用分层抽样的方法调查学生的健康状况，在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为（）

年级

人数

高一

550

高二

500

高三

450

合计

1500

A . 18 B . 22 C . 40 D . 60

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4. (2021·东城模拟) 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . 9 C . $\text{[math]}$ D . 27

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5. (2021高二下·番禺期末) 已知圆 $\text{[math]}$ 截直线 $\text{[math]}$ 所得弦的长度为1，那么k的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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6. (2021·东城模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，那么不等式 $\text{[math]}$ 的解集为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2021高二下·通州期末) “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”成立的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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8. (2021·东城模拟) 宽与长的比为 $\text{[math]}$ 的矩形叫做黄金矩形.它广泛的出现在艺术､建筑､人体和自然界中，令人赏心悦目.在黄金矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 4 D . $\text{[math]}$

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9. (2021·东城模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点F与抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点重合，P为椭圆 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 的公共点，且 $\text{[math]}$ 轴，那么椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2021·东城模拟) 如图，将线段 $\text{[math]}$ 用一条连续不间断的曲线 $\text{[math]}$ 连接在一起，需满足要求：曲线 $\text{[math]}$ 经过点B ， C ，并且在点B ， C处的切线分别为直线 $\text{[math]}$ ，那么下列说法正确的是（）

A . 存在曲线 $\text{[math]}$ 满足要求 B . 存在曲线 $\text{[math]}$ 满足要求 C . 若曲线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 满足要求，则对任意满足要求的曲线 $\text{[math]}$ ，存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ D . 若曲线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 满足要求，则对任意实数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，曲线 $\text{[math]}$ 满足要求

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二、填空题

11. (2021·东城模拟) $\text{[math]}$ 的展开式中， $\text{[math]}$ 的系数为.(用数字作答)

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12. (2021·东城模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中x和 $\text{[math]}$ 部分对应值如下表所示：

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

0

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

-2

$\text{[math]}$

-2

2

$\text{[math]}$

那么 $\text{[math]}$ .

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13. (2021·东城模拟) 设A是非空数集，若对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则称A具有性质P.给出以下命题：
①若A具有性质P ，则A可以是有限集；

②若 $\text{[math]}$ 具有性质P ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 具有性质P；

③若 $\text{[math]}$ 具有性质P ，则 $\text{[math]}$ 具有性质P；

④若A具有性质P ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 不具有性质P.

其中所有真命题的序号是.

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14. (2021·东城模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，那么m的值为，C的渐近线方程为.

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15. (2021·东城模拟) 已知 $\text{[math]}$ 为等比数列， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 的公比为，数列 $\text{[math]}$ 的前5项和为.

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三、解答题

16. (2021高二下·番禺期末) 如图，在长方体 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 是边长为1的正方形， $\text{[math]}$ ，M ， N分别为 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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17. (2021·东城模拟) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
1. （1） $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）角 $\text{[math]}$ 的大小和 $\text{[math]}$ 的面积.
  条件①： $\text{[math]}$ ；条件②： $\text{[math]}$ .
  
  注：如果选择条件①､条件②分别解答，按第一个解答计分.
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18. (2021·东城模拟) 小明同学两次测试成绩(满分100分)如下表所示：

	语文	数学	英语	物理	化学	生物
第一次	87	92	91	92	85	93
第二次	82	94	95	88	94	87

（1）从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，求该科成绩大于90分的概率；
（2）从小明同学第一次测试和第二次测试的科目中各随机抽取1科，记X为抽取的2科中成绩大于90分的科目数量，求X的分布列和数学期望 $\text{[math]}$ ；

（3）现有另一名同学两次测试成绩(满分100分)及相关统计信息如下表所示：

	语文	数学	英语	物理	化学	生物	6科成绩均值	6科成绩方差
第一次	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
第二次	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

将每科两次测试成绩的均值作为该科的总评成绩，这6科总评成绩的方差为 $\text{[math]}$ .有一种观点认为：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .你认为这种观点是否正确？(只写“正确”或“不正确”)

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19. (2021·东城模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）若曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线与y轴的交点为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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20. (2021·东城模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且焦距为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 的直线l(不与x轴重合)与椭圆C交于P ， Q两点，点T与点Q关于x轴对称，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点H ，是否存在常数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立，若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，说明理由.
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21. (2021·东城模拟) 设 $\text{[math]}$ 为正整数，若 $\text{[math]}$ 满足：① $\text{[math]}$ ；②对于 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ ；则称 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ .对于 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，定义集合 $\text{[math]}$ .
1. （1）设 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ，写出一个及相应的 $\text{[math]}$ ；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 是否可能为 $\text{[math]}$ ，若可能，写出一组 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，若不可能，说明理由；
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