北京西城区2022届高三数学期末试卷

更新时间：2022-03-16 浏览次数：139 类型：期末考试

一、单选题

1. (2022高三上·西城期末) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2022高三上·西城期末) 在复平面内，复数 $\text{[math]}$ 对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. (2022高三上·西城期末) 在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 4 C . $\text{[math]}$ D . 3

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4. (2022高三上·河北期中) 若双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线方程为 $\text{[math]}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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5. (2023高二上·朝阳开学考) 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，点E，F分别是棱 $\text{[math]}$ ， BC的中点，则下列结论中不正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

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6. (2022高三上·西城期末) 已知函数 $\text{[math]}$ 的值域为R，则实数a的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2022高三上·西城期末) 已知 $\text{[math]}$ 为等比数列， $\text{[math]}$ 为其前 $\text{[math]}$ 项和，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 7 B . 8 C . 15 D . 31

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8. (2022·北京市模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象在区间 $\text{[math]}$ 上连续不断，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上存在零点”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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9. (2022·安丘模拟) 按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位： $\text{[math]}$ ），放电时间t（单位： $\text{[math]}$ ）与放电电流I（单位： $\text{[math]}$ ）之间关系的经验公式： $\text{[math]}$ ，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流 $\text{[math]}$ 时，放电时间 $\text{[math]}$ ；当放电电流 $\text{[math]}$ 时，放电时间 $\text{[math]}$ .则该蓄电池的Peukert常数n大约为（）（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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10. (2022高三上·西城期末) 设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为 $\text{[math]}$ ，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 是集合 $\text{[math]}$ 的元素个数均不相同的非空真子集，且 $\text{[math]}$ ，则n的最大值为（）

A . 14 B . 15 C . 16 D . 18

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二、填空题

11. (2022高三上·西城期末) 二项式 $\text{[math]}$ 的展开式中常数项为．（用数字作答）

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12. (2022·北京市模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 是偶函数，则 $\text{[math]}$ 的一个取值为.

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13. (2022高三上·西城期末) 在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中，过点A的平面 $\text{[math]}$ 分别与棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点E，F，G，记四边形AEFG在平面 $\text{[math]}$ 上的正投影的面积为 $\text{[math]}$ ，四边形AEFG在平面 $\text{[math]}$ 上的正投影的面积为 $\text{[math]}$ .
给出下面四个结论：
①四边形AEFG是平行四边形；
② $\text{[math]}$ 的最大值为2；
③ $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ；
④四边形AEFG可以是菱形，且菱形面积的最大值为 $\text{[math]}$ .
则其中所有正确结论的序号是.

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14. (2022高三上·西城期末) 已知点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点.则抛物线C的方程为； $\text{[math]}$ 的面积为.

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15. (2022高三上·西城期末) 在长方形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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三、解答题

16. (2022高三上·西城期末) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD为矩形， $\text{[math]}$ 平面ABCD， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E在线段AB上，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面PBD；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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17. (2022高三上·西城期末) 已知函数 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，在条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知.
条件①： $\text{[math]}$ ；条件②： $\text{[math]}$ ；条件③： $\text{[math]}$ .
注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分.
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的解析式：
2. （2）设函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减，求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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18. (2022高三上·西城期末) 2021年7月11日18时，中央气象台发布暴雨橙色预警，这是中央气象台2021年首次发布暴雨橙色预警.中央气象台预计，7月11日至13日，华北地区将出现2021年以来的最强降雨.下表是中央气象台7月13日2：00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域.

北京密云	山东乐陵	河北迁西	山东庆云	北京怀柔	河北海兴	河北唐山	天津渤海A平台	河北丰南	山东长清
180毫米	175毫米	144毫米	144毫米	143毫米	140毫米	130毫米	127毫米	126毫米	126毫米

（1）从这10个区域中随机选出1个区域，求这个区域的降雨量超过135毫米的概率；
（2）从这10个区域中随机选出3个区域，设随机变量X表示选出的区域为北京区域的数量，求X的分布列和期望：
（3）在7月13日2：00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域中，设降雨量超过140毫米的区域降雨量的方差为 $\text{[math]}$ ，降雨量在140毫米或140毫米以下的区域降雨量的方差为 $\text{[math]}$ ，全部十个区域降雨量的方差为 $\text{[math]}$ .试判断 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小关系.（结论不要求证明）

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19. (2022高三上·西城期末) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恰有一个极小值点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）若对于任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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20. (2022高三上·西城期末) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，长轴长与短轴长的比值为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆M的方程：
2. （2）过点F的直线l与椭圆M交于A，B两点， $\text{[math]}$ 轴于点C， $\text{[math]}$ 轴于点D，直线BD交直线 $\text{[math]}$ 于点E，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之比.
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21. (2022高三上·西城期末) 已知数列 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为数列A的“紧数列”.例如，数列A：2，4，6，8的所有“紧数列”为2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8.
1. （1）直接写出数列A：1，3，6，7，8的所有“紧数列” $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知数列A满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若数列A的所有“紧数列” $\text{[math]}$ 均为递增数列，求证：所有符合条件的数列A的个数为 $\text{[math]}$ ；
3. （3）已知数列A满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对于数列A的一个“紧数列” $\text{[math]}$ ，定义集合 $\text{[math]}$ ，如果对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，那么称 $\text{[math]}$ 为数列A的“强紧数列”.若数列A存在“强紧数列”，求 $\text{[math]}$ 的最小值.（用关于N的代数式表示）
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