北京市朝阳区2022届高三数学一模试卷

更新时间：2022-07-05 浏览次数：89 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2023·山东模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高二上·北京市期中) 直线 $\text{[math]}$ 被圆 $\text{[math]}$ 截得的弦长为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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3. (2022·长春模拟) 已知平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 3

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4. (2022高一下·杭州期末) 设 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2022·朝阳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . -2 B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 2

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6. (2024高一上·北京市月考) 已知 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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7. (2022·朝阳模拟) 已知三棱锥 $\text{[math]}$ ，现有质点Q从A点出发沿棱移动，规定质点Q从一个顶点沿棱移动到另一个顶点为1次移动，则该质点经过3次移动后返回到A点的不同路径的种数为（）

A . 3 B . 6 C . 9 D . 12

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8. (2022·朝阳模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ ，若存在一个正整数 $\text{[math]}$ 使得对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的周期.若四个数列分别满足：
① $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
则上述数列中，8为其周期的个数是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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9. (2022·朝阳模拟) 如图1，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合.如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为 $\text{[math]}$ ，上口半径为 $\text{[math]}$ ，下口半径为 $\text{[math]}$ ，高为 $\text{[math]}$ .在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则双曲线的方程近似为（）
（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2022·朝阳模拟) 在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两两垂直， $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ），小明同学计划通过侧面 $\text{[math]}$ 内任意一点 $\text{[math]}$ 将木块锯开，使截面平行于直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则该截面面积（单位： $\text{[math]}$ ）的最大值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

11. (2022·朝阳模拟) 计算 $\text{[math]}$ ．

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12. (2022·朝阳模拟) 已知直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 的相邻的两条对称轴，则满足条件的一个 $\text{[math]}$ 的值是.

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13. (2022·朝阳模拟) 在平面直线坐标系 $\text{[math]}$ 中，设抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上方，过点 $\text{[math]}$ 作抛物线 $\text{[math]}$ 的切线与抛物线 $\text{[math]}$ 的准线交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ .给出下列四个结论：
① $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ ；
②点 $\text{[math]}$ 的坐标是 $\text{[math]}$ ；
③在 $\text{[math]}$ 轴上存在点 $\text{[math]}$ 使 $\text{[math]}$ ；
④以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与 $\text{[math]}$ 轴的负半轴交于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .
其中所有正确结论的序号是.

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14. (2022·长春模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 是首项为3，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列， $\text{[math]}$ 是其前 $\text{[math]}$ 项的和，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ .

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15. (2022·朝阳模拟) 某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为 $\text{[math]}$ 的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （用 $\text{[math]}$ 表示）；当 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上运动时，这块三角形绿地的最大面积是.

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三、解答题

16. (2022·朝阳模拟) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知，使 $\text{[math]}$ 存在且唯一确定，求 $\text{[math]}$ 的面积.
  条件①： $\text{[math]}$ ；条件②： $\text{[math]}$ ；条件③： $\text{[math]}$ .
  注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.
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17. (2022·朝阳模拟) 某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，并整理得到如下频率分布直方图：
1. （1）若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；
2. （2）在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用 $\text{[math]}$ 表示其成绩在 $\text{[math]}$ 中的人数，求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望；
3. （3）在（2）抽取的3人中，用 $\text{[math]}$ 表示其成绩在 $\text{[math]}$ 的人数，试判断方差 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小.（直接写结果）
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18. (2022·朝阳模拟) 如图1，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起到 $\text{[math]}$ 的位置，得到五棱锥 $\text{[math]}$ ，如图2.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，
  （i）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值；
  （ii）对线段 $\text{[math]}$ 上任意一点 $\text{[math]}$ ，求证：直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 相交.
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19. (2022·朝阳模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）若曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线与 $\text{[math]}$ 轴重合，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上存在极值，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）设 $\text{[math]}$ ，在（2）的条件下，试判断函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的单调性，并说明理由.
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20. (2022·朝阳模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的一个焦点为 $\text{[math]}$ ，且过点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程和离心率；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 轴不重合的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴，试求直线 $\text{[math]}$ 的斜率与直线 $\text{[math]}$ 的斜率的比值.
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21. (2022·朝阳模拟) 对非空数集 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，定义 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的和集 $\text{[math]}$ .对任意有限集 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 为集合 $\text{[math]}$ 中元素的个数.
1. （1）若集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，写出集合 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若集合 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证：数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是等差数列；
3. （3）设集合 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），求证：存在集合 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ .
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