安徽省六校教育研究会2023届高三下学期数学入学素质测试试卷

更新时间：2023-02-28 浏览次数：72 类型：开学考试

一、单选题

1. (2023高三下·安徽开学考) 设复数 $\text{[math]}$ ，则在复平面内 $\text{[math]}$ 对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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2. (2023高三下·安徽开学考) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 有（）个真子集.

A . 3 B . 16 C . 15 D . 4

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3. (2023高三下·安徽开学考) 已知 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， “函数 $\text{[math]}$ 为增函数”是“函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. (2023高三下·安徽开学考) 2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道（将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点）.2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道远火点（椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点）平面机动，同时将近火点高度调整至约265km．若此时远火点距离约为11945km，火星半径约为3395km，则调整后天问一号的运行轨迹（环火轨道曲线）的焦距约为（）

A . 11680km B . 5840km C . 19000km D . 9500km

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5. (2023高三下·安徽开学考) 如图，一种棱台形状的无盖容器（无上底面 $\text{[math]}$ ）模型其上、下底面均为正方形，面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若该容器模型的体积为 $\text{[math]}$ ，则该容器模型的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023高二下·宁波期末) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 通过 $\text{[math]}$ 的（）

A . 垂心 B . 外心 C . 重心 D . 内心

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7. (2023高三下·安徽开学考) 已知向量 $\text{[math]}$ 的夹角为60°的单位向量，若对任意的 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023高三下·安徽开学考) 已知直线l与曲线 $\text{[math]}$ 相切，切点为P，直线l与x轴、y轴分别交于点A，B，O为坐标原点．若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则点P的个数是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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二、多选题

9. (2023高三下·安徽开学考) 以下四个命题中，真命题的有（）

A . 在回归分析中，可用相关指数 $\text{[math]}$ 的值判断模型的拟合效果， $\text{[math]}$ 越大，模型的拟合效果越好； B . 回归模型中残差是实际值 $\text{[math]}$ 与估计值 $\text{[math]}$ 的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高； C . 对分类变量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的统计量 $\text{[math]}$ 来说， $\text{[math]}$ 值越小，判断“ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有关系”的把握程度越大． D . 已知随机变量 $\text{[math]}$ 服从二项分布 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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10. (2023高三下·安徽开学考) 2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的图像，而破碎的涌潮的图像近似 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的导函数）的图像．已知当 $\text{[math]}$ 时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的图像关于原点对称 D . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调

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11. (2023高三下·安徽开学考) 在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则（）

A . 异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ B . 点 $\text{[math]}$ 为正方形 $\text{[math]}$ 内一点，当 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ C . 过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平面截正方体 $\text{[math]}$ 所得的截面周长为 $\text{[math]}$ D . 当三棱锥 $\text{[math]}$ 的所有顶点都在球 $\text{[math]}$ 的表面上时，球 $\text{[math]}$ 的表面积为 $\text{[math]}$

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12. (2023高三下·安徽开学考) 对于正整数n， $\text{[math]}$ 是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数 $\text{[math]}$ 以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，又称为 $\text{[math]}$ 函数，例如 $\text{[math]}$ ，（10与1，3，7，9均互质）则（）

A . $\text{[math]}$ B . 数列 $\text{[math]}$ 不是单调递增数列 C . 若p为质数，则数列 $\text{[math]}$ 为等比数列 D . 数列 $\text{[math]}$ 的前4项和等于 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2023高三下·安徽开学考) 在 $\text{[math]}$ 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中含 $\text{[math]}$ 项的系数为．

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14. (2023高三下·安徽开学考) 曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线平分圆 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 的零点为．

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15. (2023高三下·安徽开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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16. (2023高三下·安徽开学考) 设抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，准线为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点为N，过抛物线上一点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的纵坐标为．

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四、解答题

17. (2023高三下·安徽开学考) 等差数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别是如表所示第一、二、三行中的某一个数，且其中的任意两个数不在表格的同一列.

第一列
第二列
第三列
第一行
5
8
2
第二行
4
3
12
第三行
16
6
9
1. （1）请选择一个可能的 $\text{[math]}$ 组合，并求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式.
2. （2）记（1）中您选择的 $\text{[math]}$ 的前n项和为Sn，判断是否存在正整数k，使得 $\text{[math]}$ 成等比数列?若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.
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18. (2023高三下·安徽开学考) 某高档小区有一个池塘，其形状为直角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 百米， $\text{[math]}$ 百米，现准备养一批观赏鱼供小区居民观赏．
1. （1）若在 $\text{[math]}$ 内部取一点P，建造APC连廊供居民观赏，如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且 $\text{[math]}$ ，求连廊 $\text{[math]}$ 的长；
2. （2）若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，建造 $\text{[math]}$ 连廊供居民观赏，如图②，使得 $\text{[math]}$ 为正三角形，求 $\text{[math]}$ 连廊长的最小值．
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19. (2023高三下·安徽开学考) 2020年席卷全球的新冠肺炎给世界人民带来了巨大的灾难，面对新冠肺炎，早发现、早诊断、早隔离、早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之一.某社区对 $\text{[math]}$ 位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，先到社区医务室进行口拭子核酸检测，检测结果成阳性者，再到医院做进一步检查，已知随机一人其口拭子核酸检测结果成阳性的概率为 $\text{[math]}$ %，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.
1. （1）假设该疾病患病的概率是 $\text{[math]}$ %，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为 $\text{[math]}$ %，设这 $\text{[math]}$ 位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；
2. （2）根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将 $\text{[math]}$ 位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：
  方案一：将 $\text{[math]}$ 位居民分成 $\text{[math]}$ 组，每组 $\text{[math]}$ 人；
  方案二：将 $\text{[math]}$ 位居民分成 $\text{[math]}$ 组，每组 $\text{[math]}$ 人；
  试分析哪一个方案的工作量更少？
  （参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
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20. (2023高三下·安徽开学考) 图1是直角梯形ABCD， $\text{[math]}$ ， ∠D＝90°，四边形ABCE是边长为2的菱形，并且∠BCE＝60°，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达 $\text{[math]}$ 的位置，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面ABED．
2. （2）在棱 $\text{[math]}$ 上是否存在点P，使得点P到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ？若存在，求出直线EP与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．
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21. (2023高二上·衡南期末) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，渐近线与抛物线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在第一象限的公共点，作直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的两支分别交于点 $\text{[math]}$ ，便得 $\text{[math]}$ .
  （i）求证：直线 $\text{[math]}$ 过定点；
  （ii）过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ .是否存在定点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为定值？如果有，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；如果没有，请说明理由.
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22. (2023高三下·安徽开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上为减函数．
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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