贵州省2024届高三上学期入学考试数学试题

更新时间：2023-11-23 浏览次数：23 类型：开学考试

一、单选题

1. (2023高三上·贵州开学考) 已知复数 $\text{[math]}$ （i为虚数单位），则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三上·新津月考) 若集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则集合 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023高三上·贵州开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . e B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2023高三上·贵州开学考) “积跬步以至千里，积小流以成江海．”出自荀子《劝学篇》．原文为“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”数学上这样的两个公式：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ，也能说明这种积少成多，聚沙成塔的成功之道．它们所诠释的含义是“每天增加1%，就会在一个月、一年以后产生巨大的变化．虽然这是一种理想化的模型，但也能充分地说明“小小的改变和时间积累的力量”．假设某同学通过学习和思考所带来的知识积累的变化，以每天2.01%的速度“进步”，则30天以后他的知识积累约为原来的（）

A . 1.69倍 B . 1.96倍 C . 1.78倍 D . 2.8倍

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5. (2023高三上·贵州开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ 为奇函数， $\text{[math]}$ 为偶函数，且 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023高三上·贵州开学考) 已知F为双曲线C： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的右焦点，过点F作x轴的垂线与双曲线及它的渐近线在第一象限内依次交于点A和点B ．若 $\text{[math]}$ ，则双曲线C的渐近线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023高三上·贵州开学考) 已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体．如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段AB ， AC和优弧BC所围成的平面图形，其中点B ， C所在直线与水平面平行，AB和AC与圆弧相切．已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023高三上·贵州开学考) 中位数为1010的一组数构成等差数列 $\text{[math]}$ ，其末项为2024，则数列 $\text{[math]}$ 的首项 $\text{[math]}$ 为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . 3或 $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2023高三上·贵州开学考) 如图，在空间四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将△ABD以BD为旋转轴转动，则下列结论正确的是（）

A . 连接AC ， BD ，则 $\text{[math]}$ B . 存在一个位置，使△ACD为等边三角形 C . AD与BC不可能垂直 D . 直线AD与平面BCD所成角的最大值为60°

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10. (2023高三上·贵州开学考) 过抛物线C： $\text{[math]}$ 的焦点F作两条互相垂直的直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，设直线 $\text{[math]}$ 交抛物线C于A ， B两点，直线 $\text{[math]}$ 交抛物线C于D ， E两点，则 $\text{[math]}$ 可能的取值为（）

A . 18 B . 16 C . 14 D . 12

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11. (2023高三上·贵州开学考) 某学校高三年级于2023年5月初进行了一次高三数学备考前测考试．按照分数大于或等于120的同学评价为“优秀生”，其它分数的同学评价为“潜力生”进行整体水平评价，得到下面表（1）所示的列联表．已知在这105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为 $\text{[math]}$ ，根据表（2）的数据可断定下列说法正确的是（）
班级
战绩
合计
优秀生
潜力生
甲班
10
b

乙班
c
30

合计

105
表（1）
$\text{[math]}$
0.05
0.01
0.001
$\text{[math]}$
3.841
6.635
10.828
表（2）

A . 列联表中c的值为30，b的值为35 B . 列联表中c的值为20，b的值为45 C . 根据列联表中的数据，有95%的把握认为成绩与班级有关 D . 根据列联表中的数据，没有95%的把握认为成绩与班级有关

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12. (2023高三上·贵州开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若对任意 $\text{[math]}$ ．及对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则实数a的值可以是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 3

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三、填空题

13. (2023高三上·贵州开学考) 设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的外心， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. (2023高三上·贵州开学考) 数学上将形如 $\text{[math]}$ （p为素数）的素数称为“梅森素数”．显然，即使p是一个“不太大”的素数，“梅森素数” $\text{[math]}$ 也可能是一个“很大”的数．利用 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，可估计得出“梅森素数” $\text{[math]}$ 的位数为．

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15. (2023高三上·贵州开学考) 如图，三棱锥 $\text{[math]}$ 的三条侧棱 $\text{[math]}$ 两两垂直，且 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 是侧面 $\text{[math]}$ 内一点，过点 $\text{[math]}$ 作一个既平行于侧棱 $\text{[math]}$ ，又平行于底边 $\text{[math]}$ 的三棱锥的截面，则该截面面积的最大值为．

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16. (2023高三上·贵州开学考) 如图，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是圆O： $\text{[math]}$ 上的两个动点，点M关于原点的对称点为 $\text{[math]}$ ，点M关于x轴的对称点为 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与y轴分别相交于 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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四、解答题

17. (2023高二上·福州期中) 如图，已知平面四边形 $\text{[math]}$ 存在外接圆，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的面积；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的周长的最大值．
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18. (2023高三上·贵州开学考) 已知 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，记数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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19. (2023高三上·贵州开学考) 甲、乙分别拥有3张写有数字的卡片，甲的3张卡片上的数字分别为X ， Y ， Z ，乙的3张卡片上的数字分别为x ， y ， z ，已知 $\text{[math]}$ ．他们按如下规则做一个“出示卡片，比数字大小”的游戏：甲、乙各出示1张卡片，比较卡片上的数字的大小，然后丢弃已使用过的卡片．他们共进行了三次，直至各自用完3张卡片，且在出示卡片时双方都不知道对方所出示的卡片上的数字．三次“出示卡片，比数字大小”之后，认定至少有两次数字较大的一方获得胜利．
1. （1）若第一次甲出示的卡片上写有数字X ，乙出示的卡片上写有数字z ，求乙最终获得胜利的概率；
2. （2）记事件 $\text{[math]}$ “第一次乙出示的卡片上的数字大”，事件 $\text{[math]}$ “乙获得胜利”，试比较A和B哪个概率大，并说明理由．
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20. (2023高三上·贵州开学考) 如图，直四棱柱 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 为菱形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E ， F分别为BC ， $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值．
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21. (2023高三上·贵州开学考) 定义：若椭圆 $\text{[math]}$ 上的两个点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则称A ， B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作 $\text{[math]}$ ．已知椭圆C： $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求“共轭点对” $\text{[math]}$ 中点B所在直线l的方程．
2. （2）设O为坐标原点，点P ， Q在椭圆C上，且 $\text{[math]}$ ，（1）中的直线l与椭圆C交于两点 $\text{[math]}$ ．
  ①求点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标；
  ②设四点 $\text{[math]}$ ， P ， $\text{[math]}$ ， Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形 $\text{[math]}$ 的面积小于 $\text{[math]}$ ．
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22. (2023高三上·贵州开学考) 定义函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）证明：在区间 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 有且只有两个不同的极值点．
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