湖南省长沙市重点中学2023-2024学年高二上学期数学入学...

更新时间：2023-10-31 浏览次数：68 类型：开学考试

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. (2023高二上·长沙开学考) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023高二上·长沙开学考) 复数 $\text{[math]}$ 的共轭复数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023高二上·长沙开学考) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. (2023高二上·长沙开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的增函数，则实数a的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023高二上·长沙开学考) 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023高二上·长沙开学考) 已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为r的半圆，且该圆锥的体积为 $\text{[math]}$ ，则r=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 3

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7. (2023高二上·长沙开学考) 在△ABC中， $\text{[math]}$ ，则这个三角形一定是（）

A . 等腰三角形 B . 直角三角形 C . 等腰直角三角形 D . 等腰或直角三角形

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8. (2023高二上·长沙开学考) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 7 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. (2023高二上·长沙开学考) 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如下统计图例，则以下四个选项正确的是（）

A . 1829周岁人群参保总费用最少 B . 30周岁以上的参保人群约占参保总人群的20% C . 54周岁以上的参保人数最少 D . 丁险种更受参保人青睐

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10. (2023高二上·长沙开学考) 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G分别为棱A₁D₁ ， AA₁ ， CD的中点，则（）

A . $\text{[math]}$ B . B₁G⊥平面BEF C . 直线AB交平面EFC于点P，则AP= $\text{[math]}$ AB D . 点A₁到平面BEF的距离为 $\text{[math]}$

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11. (2023高二上·长沙开学考) 下列各式中，值为 $\text{[math]}$ 的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2023高二上·长沙开学考) 若函数 $\text{[math]}$ 满足：① $\text{[math]}$ ，恒有 $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ，恒有 $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的最大值为4 C . $\text{[math]}$ 的单调递增区间为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . 若曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的图象有6个不同的交点，则实数k的取值范围为（ $\text{[math]}$ ， 1）

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. (2023高二上·长沙开学考) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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14. (2023高二上·长沙开学考) 如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，AC与BD的交点为M，N为边AB上任意一点（包含端点），则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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15. (2023高二上·长沙开学考) 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时该队获胜，比赛结束），根据以往比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0.8，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是．

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16. (2023高二上·长沙开学考) 已知△ABC的边AC= $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则△ABC的面积的最大值为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. (2023高二上·长沙开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最小值为 $\text{[math]}$ ，求实数m的取值范围．
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18. (2023高二上·长沙开学考) 如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，D是AC的中点，AA₁=AB=2．
1. （1）求证：AB₁∥平面C₁BD；
2. （2）若异面直线AC和A₁B₁所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求四棱锥B-AA₁C₁D的体积．
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19. (2023高二上·长沙开学考) 某校举行了一次高一年级数学竞赛，笔试成绩在50分以上（包括50分，满分100分）共有100人，分成[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]五组，得到如图所示频率分布直方图．
1. （1）根据频率分布直方图估计这次数学竞赛成绩的平均数和中位数（中位数精确到0.1）；
2. （2）为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，通过分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任取3人，求此3人分数都在[60，70）的概率．
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20. (2023高二上·长沙开学考) 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a ， b ， c ，分别以a ， b ， c为边长的三个正三角形的面积依次为S₁ ， S₂ ， S₃ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求△ABC的面积；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求c ．
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21. (2023高二上·长沙开学考) 如图，在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面QAD⊥底面ABCD，M是QD的中点．
1. （1）求证：AM⊥平面QCD；
2. （2）在棱BQ上是否存在点N使平面ACN⊥平面ACM成立？如果存在，求出 $\text{[math]}$ ；如果不存在，说明理由．
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22. (2023高二上·长沙开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的图象经过点（1，0）和点（e ， 1）， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，若对于任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，求m的取值范围．
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