广西南宁某中学2024年高考数学一模试卷

更新时间：2024-02-27 浏览次数：45 类型：高考模拟

一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1. (2024·南宁模拟) 设集合A＝{x|3^x＞1}，B＝{x|x²﹣3x＜0}，则A⋂B＝（　　）

A . [0，3） B . [1，3） C . （0，3） D . （1，3）

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2. (2024·南宁模拟) 已知复数 $\text{[math]}$ 为虚数单位），则 $\text{[math]}$ （　　）

A . 2+3i B . 2﹣4i C . 3+3i D . 2+4i

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3. (2024·南宁模拟) 设5名同学报名参加同一时间安排的4种课外活动的方案有a种；5名女同学在运动会上共同争夺跳高、跳远、铅球、跑步4项比赛的冠军的可能结果有b种，则（a ， b）为（　　）

A . （4⁵ ， 5⁴） B . （5⁴ ， 4⁵） C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024·南宁模拟) 已知函数f（x）＝lgx+lg（2﹣x），则（　　）

A . f（x）在（0，1）单调递减，在（1，2）单调递增 B . f（x）在（0，2）单调递减 C . f（x）的图像关于直线x＝1对称 D . f（x）有最小值，但无最大值

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5. (2024·南宁模拟) 知椭圆C： $\text{[math]}$ 1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁、F₂ ，直线y＝kx与椭圆C交于A ， B两点，|AF₁|＝3|BF₁|，且∠F₁AF₂＝60°，则椭圆C的离心率是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024·南宁模拟) 曲线 $\text{[math]}$ 与直线（2k+1）x﹣（k+1）y+1＝0有两个交点，则实数k的取值范围为（　　）

A . （0，+∞） B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024·南宁模拟) 已知等比数列{a_n}中，a₁＜0，则“a₃＜a₆”是“a₁＜a₅”的（　　）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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8. (2024·南宁模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . ﹣4

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二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9. (2024·南宁模拟) 气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天日平均温度不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天日平均温度的记录数据（数据都是正整数，单位℃）满足以下条件：
甲地：5个数据的中位数是24，众数是22；
乙地：5个数据的中位数是27，平均数是24；
丙地：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是10.2．
则下列说法正确的是（　　）

A . 进入夏季的地区有2个 B . 丙地区肯定进入了夏季 C . 乙地区肯定还未进入夏季 D . 不能肯定甲地区进入了夏季

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10. (2024·南宁模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A . 周期为π B . 直线x＝π是f（x）图像的一条对称轴 C . 点 $\text{[math]}$ 是f（x）图像的一个对称中心 D . 将f（x）的图像向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度后，可得到一个偶函数的图象

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11. (2024·南宁模拟) 函数f（x）对任意x ， y∈R总有f（x+y）＝f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＜0， $\text{[math]}$ ，则下列命题中正确的是（　　）

A . f（x）是R上的减函数 B . f（x）在[﹣6，6]上的最小值为﹣2 C . f（x）是奇函数 D . 若f（x）+f（x﹣3）≥﹣1，则实数x的取值范围为[0，+∞）

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12. (2024·南宁模拟) 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，则下列结论正确的是（　　）

A . 勒洛四面体ABCD最大的截面是正三角形 B . 勒洛四面体ABCD的体积大于正四面体ABCD的体积 C . 勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积是 $\text{[math]}$ D . 勒洛四面体ABCD四个曲面所有交线长的和为8π

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三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13. (2024·南宁模拟) 已知f（x）是R上的奇函数，且对任意x∈R都有f（x+6）＝f（x）+f（3）成立，则f（2022）＝．

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14. (2024·南宁模拟) 已知向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. (2024·南宁模拟) 已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，底面半径为 $\text{[math]}$ ，高为1，E和F是底面圆周上两点，△PEF面积的最大值为．

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16. (2024·南宁模拟) 已知抛物线C：x²＝2py（p＞0）的焦点为F ，斜率为1的直线l过F与C交于A ， B两点，AB的中点到抛物线准线的距离为8，则p＝．

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四、解答题（共6小题，满分70分）

17. (2024·南宁模拟) 在△ABC中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ， bcosC＝acos²B+bcosAcosB ．
1. （1）求证：△ABC是等腰三角形；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且△ABC的周长为5，求△ABC的面积．
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18. (2024·南宁模拟) 已知甲书架上有4本英文读物和2本中文读物，乙书架上有2本英文读物和3本中文读物．
1. （1）从甲书架上无放回地取2本书，每次任取1本，求第一次取到英文读物的条件下第二次仍取到英文读物的概率；
2. （2）先从乙书架上随机取2本书放在甲书架上，再从甲书架上随机取2本书，求从甲书架上取出的是2本英文读物的概率．
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19. (2024·南宁模拟) 已知双曲线E： $\text{[math]}$ 的左右焦点分别为F₁ ， F₂ ， F₁到其中一条渐近线的距离为1，过F₁且垂直于x轴的直线交双曲线于A ， B ，且|AB|＝1．
1. （1）求E的方程；
2. （2）过Q（4，0）的直线l交曲线E于M ， N两点，若|MN|＝4，求直线l的方程．
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20. (2024·南宁模拟) 如图甲是由梯形ABCD和正三角形CDE组成的一个平面图形，其中BC∥AD ， AB⊥AD ， AD＝2BC＝2AB＝2，将△CDE沿CD折起使点E到达点P的位置（如图乙），使二面角P﹣CD﹣B为直二面角．
1. （1）证明：AC⊥PD；
2. （2）若平面PCD与平面PAB的交线为l ，求l与平面PAD所成角的正弦值．
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21. (2024·南宁模拟) 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，且a₁＝2，a_n₊₁＝2S_n+2（n∈N^*）．
1. （1）求数列{a_n}的通项公式；
2. （2）在a_n与a_n₊₁之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d_n的等差数列，在数列{d_n}中是否存在3项d_m ， d_k ， d_p（其中m ， k ， p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
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22. (2024·南宁模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）讨论f（x）的单调性；
2. （2）证明：①当 $\text{[math]}$ 时，函数f（x）有两个零点；
  ②当﹣2＜a＜﹣1时，函数f（x）一个零点；请从①②中选择其一作答．
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