安徽省淮北市2024届高三上学期12月第一次质量检测数学试卷

更新时间：2024-03-19 浏览次数：34 类型：高考模拟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1. (2024高三上·淮北月考) 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三上·淮北月考) 已知复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高三上·淮北月考) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两条不同的直线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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4. (2024高三上·淮北月考) 记 $\text{[math]}$ 是等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，则“ $\text{[math]}$ 是递增数列”是“ $\text{[math]}$ 是递增数列”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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5. (2024高三上·淮北月考) 已知定义在 $\text{[math]}$ 上奇函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高三上·淮北月考) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线与圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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7. (2024高三上·淮北月考) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高三上·淮北月考) 已知方程 $\text{[math]}$ 有两个不等实数根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，下列命题为真命题的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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10. (2024高三上·淮北月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，（）

A . 存在实数 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 单调递减 B . 若 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 成中心对称，则 $\text{[math]}$ 的最小值为2 C . 若 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位可以得到 $\text{[math]}$ 的图象 D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$

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11. (2024高三上·淮北月考) 如图，边长为2的正六边形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 内部（包括边界）的动点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .（）

A . $\text{[math]}$ B . 存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹长度为2 D . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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12. (2024高三上·淮北月考) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点在球心为 $\text{[math]}$ ，半径为5的球面上，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . 点 $\text{[math]}$ 有可能在 $\text{[math]}$ 上 B . 线段 $\text{[math]}$ 的长有可能为7 C . 四面体 $\text{[math]}$ 的体积的最大值为20 D . 四面体 $\text{[math]}$ 的体积的最大值为56

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. (2024高三上·淮北月考) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. (2024高三上·淮北月考) 正项等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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15. (2024高三上·淮北月考) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 准线为 $\text{[math]}$ ，焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在抛物线上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 则实数 $\text{[math]}$ .

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16. (2024高三上·淮北月考) 记不超过 $\text{[math]}$ 的最大整数为 $\text{[math]}$ .若函数 $\text{[math]}$ 既有最大值也有最小值，则实数 $\text{[math]}$ 的值可以是（写出满足条件的一个 $\text{[math]}$ 的值即可）.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (2024高三上·淮北月考) 已知 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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18. (2024高三上·淮北月考) 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是边长为2的等边三角形，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的正切值为 $\text{[math]}$ ，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积.
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19. (2024高三上·淮北月考) 某市随着东部新城迅猛发展，从老城区到新城区的道路交通压力变大.某高中数学建模小组调查了新城上班族 $\text{[math]}$ 从居住地到工作地的平均用时，上班族 $\text{[math]}$ 中的成员仅以公交或自驾的方式通勤，分析显示：当 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间与 $\text{[math]}$ 满足函数关系为：
$\text{[math]}$ （单位：分钟）.
而公交群体的人均通勤时间不受 $\text{[math]}$ 影响，恒为40分钟.
1. （1）当 $\text{[math]}$ 在什么范围时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
2. （2）求新城上班族 $\text{[math]}$ 的人均通勤时间 $\text{[math]}$ 的表达式，讨论 $\text{[math]}$ 的单调性，并说明其实际意义.
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20. (2024高三上·淮北月考) 已知数列 $\text{[math]}$ 为递增的等比数列， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为数列 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的前项和， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .
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21. (2024高三上·淮北月考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，左右焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是椭圆上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ 为坐标原点，射线 $\text{[math]}$ 与椭圆交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上一动点，且 $\text{[math]}$ ，求证：点 $\text{[math]}$ 在定直线上.
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22. (2024高三上·淮北月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ ）.
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的最小值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 有两个不同极值点，分别记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
  （ⅰ）求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
  （ⅱ）若不等式 $\text{[math]}$ 恒成立（ $\text{[math]}$ 为自然对数的底数），求正数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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