2013年高考理数真题试卷（重庆卷）

更新时间：2016-10-19 浏览次数：1094 类型：高考真卷

一、选择题：在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. (2013·重庆理) 已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁_U（A∪B）=（）

A . {1，3，4} B . {3，4} C . {3} D . {4}

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2. (2020高二上·茂名期末) 命题“对任意x∈R，都有x²≥0”的否定为（）

A . 对任意x∈R，都有x²＜0 B . 不存在x∈R，都有x²＜0 C . 存在x₀∈R，使得x₀²≥0 D . 存在x₀∈R，使得x₀²＜0

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3. (2013·重庆理) $\text{[math]}$ （﹣6≤a≤3）的最大值为（）

A . 9 B . $\text{[math]}$ C . 3 D . $\text{[math]}$

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4. (2020高二上·沧县期中) 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）

A . 2，5 B . 5，5 C . 5，8 D . 8，8

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5. (2013·重庆理)
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 200 D . 240

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6. (2013·重庆理) 若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）

A . （a，b）和（b，c）内 B . （﹣∞，a）和（a，b）内 C . （b，c）和（c，+∞）内 D . （﹣∞，a）和（c，+∞）内

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7. (2013·重庆理) 已知圆C₁：（x﹣2）²+（y﹣3）²=1，圆C₂：（x﹣3）²+（y﹣4）²=9，M，N分别是圆C₁ ， C₂上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ ﹣1 B . 5 $\text{[math]}$ ﹣4 C . 6﹣2 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2013·重庆理) 执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）

A . k≤6 B . k≤7 C . k≤8 D . k≤9

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9. (2013·重庆理) 4cos50°﹣tan40°=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2 $\text{[math]}$ ﹣1

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10. (2021·青浦模拟) 在平面上， $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |=1， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ．若| $\text{[math]}$ |＜ $\text{[math]}$ ，则| $\text{[math]}$ |的取值范围是（）

A . （0， $\text{[math]}$ ] B . （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ] C . （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ] D . （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]

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二、填空题：把答案填写在答题卡相应位置上．

11. (2013·重庆理) 已知复数z= $\text{[math]}$ （i是虚数单位），则|z|=．

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12. (2013·重庆理) 已知{a_n}是等差数列，a₁=1，公差d≠0，S_n为其前n项和，若a₁ ， a₂ ， a₅成等比数列，则S₈₌．

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13. (2013·重庆理) 从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是（用数字作答）．

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14. (2013·重庆理) 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为．

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15. (2013·重庆理) 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线 $\text{[math]}$ （t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=．

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16. (2013·重庆理) 若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是．

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三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. (2013·重庆理) 设f（x）=a（x﹣5）²+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．
1. （1）确定a的值；
2. （2）求函数f（x）的单调区间与极值．
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18. (2013·重庆理) 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
奖级
摸出红、蓝球个数
获奖金额
一等奖
3红1蓝
200元
二等奖
3红0蓝
50元
三等奖
2红1蓝
10元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
1. （1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
2. （2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．
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19. (2013·重庆理) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD= $\text{[math]}$ ，F为PC的中点，AF⊥PB．
1. （1）求PA的长；
2. （2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．
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20. (2013·重庆理) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a²+b²+ $\text{[math]}$ ab=c² ．
1. （1）求C；
2. （2）设cosAcosB= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，求tanα的值．
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21. (2013·重庆理) 如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率 $\text{[math]}$ ，过左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．
1. （1）求该椭圆的标准方程；
2. （2）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．
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22. (2013·重庆理) 对正整数n，记I_n={1，2，3…，n}，P_n={ $\text{[math]}$ |m∈I_n ， k∈I_n}．
1. （1）求集合P₇中元素的个数；
2. （2）若P_n的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使P_n能分成两个不相交的稀疏集的并集．
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