湖南省常德市2024届高三下学期4月高考模拟数学试题

更新时间：2024-06-17 浏览次数：26 类型：高考模拟

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. (2024高三上·黑龙江月考) 若集合 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题
2. (2024高三下·茂名模拟) 已知复数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位），则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题
3. (2024高三下·常德模拟) 平面向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的投影向量为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题
4. (2024高三下·常德模拟) 将函数 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位后得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，若对满足 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题
5. (2024高三下·开平模拟) 若椭圆 $\text{[math]}$ 的焦距为2，则该椭圆的离心率为( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题
6. (2024高一下·重庆市月考) 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（）
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）

A . 6寸 B . 4寸 C . 3寸 D . 2寸

答案解析收藏纠错 + 选题
7. (2024高三下·常德模拟) 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的首项为1，公差不为0，若 $\text{[math]}$ 成等比数列，则 $\text{[math]}$ 的第5项为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或1 D . $\text{[math]}$ 或1

答案解析收藏纠错 + 选题
8. (2024高三下·常德模拟) 如图，已知 $\text{[math]}$ 为双曲线 $\text{[math]}$ 上一动点，过 $\text{[math]}$ 作双曲线 $\text{[math]}$ 的切线交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. (2024高三下·常德模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是两个虚数，则下列结论中正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 均为实数 B . 若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 均为实数，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 均为纯虚数，则 $\text{[math]}$ 为实数 D . 若 $\text{[math]}$ 为实数，则 $\text{[math]}$ 均为纯虚数

答案解析收藏纠错 + 选题
10. (2024高三下·常德模拟) 已知非零函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为奇函数，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 4是函数 $\text{[math]}$ 的一个周期 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上至少有1012个零点

答案解析收藏纠错 + 选题
11. (2024高三下·茂名模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值可以是（）

A . e B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. (2024高三下·常德模拟) $\text{[math]}$ 的展开式中常数项为．

答案解析收藏纠错 + 选题
13. (2024高三下·常德模拟) 在公差为正数的等差数列 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列，则数列 $\text{[math]}$ 的前10项和为.

答案解析收藏纠错 + 选题
14. (2024高三下·常德模拟) 已知圆 $\text{[math]}$ ，若对于任意的 $\text{[math]}$ ，存在一条直线被圆C所截得的弦长为定值n，则 $\text{[math]}$ .

答案解析收藏纠错 + 选题

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (2024高三上·哈尔滨期中) $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的最小值．
答案解析收藏纠错 + 选题
16. (2024高三下·常德模拟) 如图1，菱形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将其沿 $\text{[math]}$ 折叠形成如图2所示的三棱锥 $\text{[math]}$ ．
图1 图2
1. （1）证明：三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ；
2. （2）当点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 的投影为 $\text{[math]}$ 的重心时，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
答案解析收藏纠错 + 选题
17. (2024高三下·常德模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左顶点为 $\text{[math]}$ ，右焦点为 $\text{[math]}$ ，椭圆 $\text{[math]}$ 上的点到 $\text{[math]}$ 的最大距离是短半轴长的 $\text{[math]}$ 倍，且椭圆过点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）设过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为锐角．若点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 与的距离为 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的斜率之和．
答案解析收藏纠错 + 选题
18. (2024高三下·茂名模拟) 在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获利第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获利第二名．甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为 $\text{[math]}$ ，且不同对阵的结果相互独立．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
  ①求甲获得第四名的概率；
  ②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；
2. （2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军．哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由．
答案解析收藏纠错 + 选题
19. (2024高三下·常德模拟) 罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔 $\text{[math]}$ 罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数 $\text{[math]}$ 满足在闭区间 $\text{[math]}$ 连续，在开区间 $\text{[math]}$ 内可导，且 $\text{[math]}$ ，那么在区间 $\text{[math]}$ 内至少存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ．
1. （1）运用罗尔定理证明：若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 连续，在区间 $\text{[math]}$ 上可导，则存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ．
2. （2）已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若对于区间 $\text{[math]}$ 内任意两个不相等的实数 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
3. （3）证明：当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，有 $\text{[math]}$ ．
答案解析收藏纠错 + 选题