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广西壮族自治区2024年高中毕业班5月仿真考试数学试卷

更新时间：2024-07-23 浏览次数：17 类型：高考模拟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 欧拉公式 $\text{[math]}$ 把自然对数的底数e，虚数单位i， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数z满足 $\text{[math]}$ ，则正确的是（）

A . z的共轭复数为 $\text{[math]}$ B . z的实部为1 C . z的虚部为 $\text{[math]}$ D . z的模为1

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3. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . 3或0 D . $\text{[math]}$ 或0

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4. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 10 C . $\text{[math]}$ D . 8

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5. 已知将函数 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度和向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度都能得到同一个函数的图象，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. $\text{[math]}$ 是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成．如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多边形的边长为1，A ， B ， C为正多边形的顶点，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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7. 设等差数列 $\text{[math]}$ 的公差为d ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ 为递增数列”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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8. 如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的余弦曲线．若该段余弦曲线是函数 $\text{[math]}$ 图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 2

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 某地教师招聘考试，有3200人参加笔试，满分为100分，笔试成绩前 $\text{[math]}$ （含 $\text{[math]}$ ）的考生有资格参加面试，所有考生的笔试成绩和年龄分别如频率分布直方图和扇形统计图所示，则（）

A . 90后考生比00后考生多150人 B . 笔试成绩的 $\text{[math]}$ 分位数为80 C . 参加面试的考生的笔试成绩最低为86分 D . 笔试成绩的平均分为76分（同一组中的数据用该组区间的中点的值为代表）

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10. 已知四面体ABCD的各个面均为全等的等腰三角形，且 $\text{[math]}$ ．设E为空间内任一点，且A ， B ， C ， D ， E五点在同一个球面上，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 四面体ABCD的体积为 $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时，点E的轨迹长度为 $\text{[math]}$ D . 当三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ 时，点E的轨迹长度为 $\text{[math]}$

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11. 关于函数 $\text{[math]}$ ，下列判断正确的是（）．

A . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的极小值点 B . 函数 $\text{[math]}$ 有且只有1个零点 C . 存在正实数k ，使得 $\text{[math]}$ 成立 D . 对任意两个正实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 写出与圆 $\text{[math]}$ 和圆 $\text{[math]}$ 都相切的一条直线的方程．

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13. 一个长方体容器（厚度忽略不计）的高为 $\text{[math]}$ ，底面是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形，现装入一定量的水，然后将一个半径为 $\text{[math]}$ 的实心球缓慢放入该容器内，当球沉到容器底部时，球与水面刚好相切，则装入水的体积为 $\text{[math]}$ ．

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14. 在锐角 $\text{[math]}$ 中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 在正四棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E为 $\text{[math]}$ 中点，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 交于点F ．
1. （1）证明：F为 $\text{[math]}$ 的中点；
2. （2）求直线AC与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值．
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16. 记数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ，对任意正整数n ，有 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）对所有正整数m ，若 $\text{[math]}$ ，则在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两项中插入 $\text{[math]}$ ，由此得到一个新数列 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的前91项和．
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17. 乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目．已知某次乒乓球比赛单局赛制为：每两球交换发球权，每赢1球得1分，先得11分者获胜．当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜．若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为 $\text{[math]}$ ，甲接球时获胜的概率为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当某局打成10∶10平后，甲先发球，求“两人又打了4个球且获胜”的概率；
2. （2）在单局比赛中，假如甲先发球，求甲最终11∶2获胜的概率．
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18. 在平面直角坐标系xOy中，点A ， B的坐标分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的周长为6，记顶点M的轨迹为曲线C ．
1. （1）求C的方程；
2. （2）已知点E ， F ， P ， Q在C上，且直线EF与PQ相交于点A ，记EF ， PQ的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  （ⅰ）设EF的中点为G ， PQ的中点为H ，证明：存在唯一常数 $\text{[math]}$ ，使得当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；
  （ⅱ）若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最大时，求四边形EPFQ的面积．
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19. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数 $\text{[math]}$ 的图象，定义双曲正弦函数 $\text{[math]}$ ，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系： $\text{[math]}$ ， ②倍元关系： $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线斜率；
2. （2）（ⅰ）证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；
  （ⅱ）证明： $\text{[math]}$ ．
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