浙江省五校联盟2024届高三下学期3月联考数学试题

更新时间：2024-08-23 浏览次数：4 类型：月考试卷

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 若全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ 及其关系用韦恩图表示如图，则图中阴影表示为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知向量 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 设b，c表示两条直线， $\text{[math]}$ 表示两个平面，则下列说法中正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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4. 已知角 $\text{[math]}$ 的终边过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 设等比数列 $\text{[math]}$ 的公比为 $\text{[math]}$ ，前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ 为等比数列”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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6. 已知实数x，y满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 8 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的左右焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、A为双曲线的左顶点，以 $\text{[math]}$ 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高一下·珠海期中) 在等边三角形 $\text{[math]}$ 的三边上各取一点D，E，F，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则三角形 $\text{[math]}$ 的面积的最大值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 在学校组织的《青春如火，初心如炬》主题演讲比赛中，有8位评委对每位选手进行评分（评分互不相同），将选手的得分去掉一个最低评分和一个最高评分，则下列说法中正确的是（）

A . 剩下评分的平均值变大 B . 剩下评分的极差变小 C . 剩下评分的方差变小 D . 剩下评分的中位数变大

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10. 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ，点M，N分别是AD，BC的中点，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 异面直线AN，CM所成的角的余弦值是 $\text{[math]}$ C . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ D . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积为 $\text{[math]}$

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 的零点为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的单调递增区间为 $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的图象的所有切线，则所有切点的横坐标之和为 $\text{[math]}$

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三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 直线 $\text{[math]}$ 的一个方向向量是.

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13. (2024高二下·新会期末) 甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制 $\text{[math]}$ 如果每局比赛中甲获胜的概率为 $\text{[math]}$ ，乙获胜的概率为 $\text{[math]}$ ，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为．

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14. 已知函数 $\text{[math]}$ 及其导函数 $\text{[math]}$ 的定义域均为 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 均为偶函数，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 如图，斜三棱柱 $\text{[math]}$ 的底面是直角三角形， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在底面ABC内的射影恰好是BC的中点，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若斜棱柱的高为 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.
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16. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
1. （1）若曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线在两坐标轴上的截距相等，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值是 $\text{[math]}$ ?若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，说明理由.
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17. 记复数的一个构造：从数集 $\text{[math]}$ 中随机取出2个不同的数作为复数的实部和虚部.重复 $\text{[math]}$ 次这样的构造，可得到 $\text{[math]}$ 个复数，将它们的乘积记为 $\text{[math]}$ .已知复数具有运算性质： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，记 $\text{[math]}$ 的取值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求满足 $\text{[math]}$ 的概率；
3. （3）求 $\text{[math]}$ 的概率 $\text{[math]}$ .
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18. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，我们把点 $\text{[math]}$ 称为自然点.按如图所示的规则，将每个自然点 $\text{[math]}$ 进行赋值记为 $\text{[math]}$ ，例如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）如果 $\text{[math]}$ 满足方程 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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19. 在平面直角坐标系xOy中，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于M，N两点 $\text{[math]}$ 在第一象限）.
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求直线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若三角形OMN的外接圆与曲线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ （异于点O，M，N），
  （i）证明：△MND的重心的纵坐标为定值，并求出此定值；
  （ii）求凸四边形OMDN的面积的取值范围.
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