浙江省湖州市2024届高三上学期期末数学试题

更新时间：2024-09-03 浏览次数：12 类型：期末考试

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. (2024高三上·湖州期末) 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三上·湖州期末) 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位），则 $\text{[math]}$ （）

A . 8 B . 6 C . -6 D . -8

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3. 已知向量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，31，37，m，42，49；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则 $\text{[math]}$ （）

A . 60 B . 65 C . 70 D . 71

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5. (2024高三上·湖州期末) 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高三上·湖州期末) 记 $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，设甲： $\text{[math]}$ 为等差数列；设乙： $\text{[math]}$ ，则（）

A . 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B . 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C . 甲是乙的充要条件 D . 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

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7. (2024高三上·湖州期末) 在正四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ 为正三角形，点 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，若过点 $\text{[math]}$ 的截面交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高三上·湖州期末) 已知函数 $\text{[math]}$ ，若总存在两条不同的直线与函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 图象均相切，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. (2024高三上·湖州期末) 下列结论中正确的是（）

A . 在 $\text{[math]}$ 列联表中，若每个数据 $\text{[math]}$ 均变为原来的2倍，则 $\text{[math]}$ 的值不变 $\text{[math]}$ B . 已知随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 在一组样本数据的散点图中，若所有样本点 $\text{[math]}$ 都在直线 $\text{[math]}$ 上，则这组样本数据的样本相关系数为0.9 D . 分别抛掷2枚相同的硬币，事件 $\text{[math]}$ 表示为“第1枚为正面”，事件 $\text{[math]}$ 表示为“两枚结果相同”，则事件 $\text{[math]}$ 是相互独立事件

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10. (2024高三上·湖州期末) 已知正数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，下列结论中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最小值为2 C . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最大值为1

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11. 纯音的数学模型是函数 $\text{[math]}$ ，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为 $\text{[math]}$ 的基音的同时，其各部分，如二分之一､三分之一､四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如 $\text{[math]}$ 等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听出来，所以我们听到的声音函数是 $\text{[math]}$ .记 $\text{[math]}$ ，则下列结论中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的一条对称轴 B . $\text{[math]}$ 的周期为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 中心对称

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12. 已知 $\text{[math]}$ 为坐标原点，点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 上，过点 $\text{[math]}$ 的直线交抛物线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，则下列结论正确的是（）

A . 抛物线 $\text{[math]}$ 的准线方程为 $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 相切 C . $\text{[math]}$ 为定值 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. (2022高三上·岳阳月考) 已知 $\text{[math]}$ 的展开式中含 $\text{[math]}$ 项的系数为8，则实数 $\text{[math]}$ .

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14. (2024高三上·湖州期末) 已知圆 $\text{[math]}$ 的圆心在直线 $\text{[math]}$ 上且与 $\text{[math]}$ 轴相切.请写出一个同时满足上述条件的圆的标准方程：.

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15. (2024高三上·湖州期末) 已知一个圆台的上､下底面半径为 $\text{[math]}$ ，若球 $\text{[math]}$ 与该圆台的上､下底面及侧面均相切，且球 $\text{[math]}$ 与该圆台体积比为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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16. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左右顶点分别为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为双曲线右支上任意一点（异于点 $\text{[math]}$ ），以 $\text{[math]}$ 为直径的圆交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 点的横坐标等于该圆的半径，则该双曲线的离心率是.

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四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤.

17. (2024高三上·湖州期末) 记 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边分别是 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的面积.
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18. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 为等差数列，且满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
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19. 如图，在多面体 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 分别为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明：直线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）是否存在 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ？请说明理由.
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20. 杭州第 $\text{[math]}$ 届亚运会，是继 $\text{[math]}$ 年北京亚运会、 $\text{[math]}$ 年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事. $\text{[math]}$ 年 $\text{[math]}$ 月 $\text{[math]}$ 日，杭州亚运会开幕式隆重举行.某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚 $\text{[math]}$ 点前登录该直播间的前 $\text{[math]}$ 名观众设置了两轮“庆亚运、送吉祥物”的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统独立、随机地从这 $\text{[math]}$ 名观众中抽取 $\text{[math]}$ 名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这 $\text{[math]}$ 名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为 $\text{[math]}$ （幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为 $\text{[math]}$ 人）.
1. （1）已知小杭是这前 $\text{[math]}$ 名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 取到最大值时，求 $\text{[math]}$ 的值.
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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且离心率为 $\text{[math]}$ .过点 $\text{[math]}$ 的直线交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点（异于点 $\text{[math]}$ ）.直线 $\text{[math]}$ 分别交直线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点.
1. （1）求证：直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的斜率之积为定值；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 面积的最小值.
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22. (2024高三上·湖州期末) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使得函数 $\text{[math]}$ 在定义域内单调递增；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 存在极大值 $\text{[math]}$ ，极小值 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .（其中 $\text{[math]}$ 是自然对数的底数）
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