2025高考一轮复习（人教A版）第三十七讲抛物线

更新时间：2024-12-27 浏览次数：2 类型：一轮复习

一、选择题

1. (2024高二上·龙华月考) 过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点F的直线交该抛物线于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ 两点的横坐标之和为3，则 $\text{[math]}$ （）

A . 5 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 4

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2. (2024高一上·章贡期中) 已知点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，过点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的切线，若切线长为 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的准线的距离为（）

A . 5 B . 6 C . 7 D . $\text{[math]}$

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3. (2024高二上·长沙期中) 假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，渠深 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，水面 $\text{[math]}$ 距 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，则截面图中水面宽 $\text{[math]}$ 的长度约为（）（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

A . 0.816m B . 1.33m C . 1.50m D . 1.63m

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4. (2024高三上·锦江开学考) 已知抛物线C： $\text{[math]}$ 的焦点为F，准线为 $\text{[math]}$ ， P是 $\text{[math]}$ 上一点，Q是直线PF与C得一个交点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高三上·益阳模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的点，且线段 $\text{[math]}$ 平行于 $\text{[math]}$ 轴，则下列结论错误的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 是直角三角形 B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 是等腰三角形 C . 存在四边形 $\text{[math]}$ 是菱形 D . 存在四边形 $\text{[math]}$ 是矩形

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6. (2024高三下·衡阳开学考) 设抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为抛物线上一点且 $\text{[math]}$ 在第一象限， $\text{[math]}$ ，若将直线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到直线 $\text{[math]}$ ，且直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于 $\text{[math]}$ 两点，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高二下·南宁期末) 已知 $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的一点， $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上一点，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高二下·东城期末) 2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径（口径）为 $\text{[math]}$ 的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点 $\text{[math]}$ 处.若“金色大伞”的深度为 $\text{[math]}$ ，则“金色大伞”的边缘 $\text{[math]}$ 点到焦点 $\text{[math]}$ 的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题

9. (2025·) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F ，点 $\text{[math]}$ 在C上，若 $\text{[math]}$ （O为坐标原点），则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2024高三上·湛江期中) 已知 $\text{[math]}$ 为坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上第一象限的点，且 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，圆 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 倾斜角的正弦值为 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 的面积为6，则直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ D . 过点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的两条切线，则两切点连线的方程为 $\text{[math]}$

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11. (2024高三上·昆明月考) 已知点M是抛物线 $\text{[math]}$ 上的动点，当M运动到达点 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 到焦点F的距离等于5，过动点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，过定点 $\text{[math]}$ 作与C有且仅有一个公共点的直线l，直线PF与C交于点A，B，则（）

A . 抛物线C的方程为 $\text{[math]}$ B . 直线l的方程为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 满足 $\text{[math]}$ 的点M有且仅有2个

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12. (2024高二下·合江期末) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F ，过F作两条互相垂直的直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与C相交于P ， Q ， $\text{[math]}$ 与C相交于M ， N ， $\text{[math]}$ 的中点为G ， $\text{[math]}$ 的中点为H ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最大值为16 D . 当 $\text{[math]}$ 最小时，直线 $\text{[math]}$ 的斜率不存在

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三、填空题

13. (2024高二上·龙华月考) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的方程为.

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14. (2024高三上·广东月考) 已知M是抛物线 $\text{[math]}$ 上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点．若 $\text{[math]}$ ，则线段MF的长为.

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15. (2024高三上·萍乡开学考) 古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 是满足 $\text{[math]}$ 的阿氏圆上的任意一点，点 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上的射影为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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四、解答题

16. (2024高三上·隆阳期中) 若 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 上一点，过 $\text{[math]}$ 作两条关于 $\text{[math]}$ 对称的直线分别另交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点.
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程与焦点坐标；
2. （2）判断直线 $\text{[math]}$ 的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.
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17. (2024高三上·岳麓月考) 已知直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）设F为C的焦点，M，N为C上两点， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最小值．
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18. (2024高三上·北海月考) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 的动直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 上是否存在定点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 分别为直线 $\text{[math]}$ 的斜率）？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，说明理由.
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19. (2024高二下·福州期末) 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）设直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 倾斜角互补.
  （i）求 $\text{[math]}$ 的值；
  （ii）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.
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