山东省青岛市2020届高三数学4月统一质量检测（一模)试卷

更新时间：2020-07-16 浏览次数：214 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2020·青岛模拟) 已知i是虚数单位，复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的共轭复数 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . -i B . 1 C . i D . -1

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2. (2020·青岛模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2020·青岛模拟) 已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额 $\text{[math]}$ （单位：元）服从正态分布 $\text{[math]}$ ，则该市某居民手机支付的消费额在 $\text{[math]}$ 内的概率为（）
附：随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

A . 0.9759 B . 0.84 C . 0.8185 D . 0.4772

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4. (2020·青岛模拟) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则a，b，c的大小关系正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2020·青岛模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为自然对数的底数），若 $\text{[math]}$ 的零点为 $\text{[math]}$ ，极值点为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -1 B . 0 C . 1 D . 2

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6. (2020·青岛模拟) 已知四棱锥 $\text{[math]}$ 的所有棱长均相等，点E，F分别在线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的大小为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2020·青岛模拟) 在同一直角坐标系下，已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，双曲线C的一个焦点到一条渐近线的距离为2，函数 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 单位后得到曲线D，点A，B分别在双曲线C的下支和曲线D上，则线段 $\text{[math]}$ 长度的最小值为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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8. (2020高二下·辽宁期中) 某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”､“升级题型”､“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为 $\text{[math]}$ ，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2021高三上·福田月考) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2021高三下·湖南月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上只有1个零点 C . $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 图象的一条对称轴

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11. (2020·青岛模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列选项正确的为（）

A . 数列 $\text{[math]}$ 是等差数列 B . 数列 $\text{[math]}$ 是等比数列 C . 数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2020·青岛模拟) 已知四棱台 $\text{[math]}$ 的上下底面均为正方形，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下述正确的是（）．

A . 该四棱台的高为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 该四棱台的表面积为26 D . 该四棱台外接球的表面积为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2020·青岛模拟) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立，则实数a的取值范围为．

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14. (2020·青岛模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为R， $\text{[math]}$ 为奇函数， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. (2020·青岛模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，二项式 $\text{[math]}$ 展开式中含有 $\text{[math]}$ 项的系数不大于240，记a的取值集合为A，则由集合A中元素构成的无重复数字的三位数共有个．

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16. (2020·青岛模拟) 2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图： $\text{[math]}$ 是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S､圆L均与圆Q外切．已知直线 $\text{[math]}$ 过点O．

⑴若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为；

⑵若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则 $\text{[math]}$ ．

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四、解答题

17. (2020高二上·天河月考) 设等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）是否存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
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18. (2020·青岛模拟) 在 $\text{[math]}$ 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求角 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，在下列两个条件中任选一个，求 $\text{[math]}$ 的长度．
  条件①： $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ；
  
  条件②： $\text{[math]}$ ．
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19. (2020·青岛模拟) 在如图所示的四棱锥 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形， $\text{[math]}$ 为边长为2的等边三角形， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，O分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是异面直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的公垂线．
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）记 $\text{[math]}$ 的重心为 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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20. (2020·青岛模拟) 某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱｡
1. （1）已知该网络购物平台近5年“双十”购物节当天成交额如下表：
  
  年份
  
  2015
  
  2016
  
  2017
  
  2018
  
  2019
  
  成交额（百亿元）
  
  9
  
  12
  
  17
  
  21
  
  27
  
  求成交额 $\text{[math]}$ （百亿元）与时间变量 $\text{[math]}$ （记2015年为 $\text{[math]}$ ，2016年为 $\text{[math]}$ ，……依次类推）的线性回归方程，并预测2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额（百亿元）；
2. （2）在2020年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台．上分别参加 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在 $\text{[math]}$ 、两店订单“秒杀”成功的概率分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为 $\text{[math]}$ ．
  （i）求 $\text{[math]}$ 的分布列及 $\text{[math]}$ ；
  
  （ii）已知每个订单由 $\text{[math]}$ 件商品W构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品 $\text{[math]}$ 总数量为 $\text{[math]}$ ，假设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 取最大值时正整数k的值．
  
  附：回归方程 $\text{[math]}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
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21. (2020·青岛模拟) 已知 $\text{[math]}$ 为坐标原点，椭圆 $\text{[math]}$ 的左，右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点又恰为抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点，以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与椭圆 $\text{[math]}$ 仅有两个公共点．
1. （1）求椭圆C的标准方程；
2. （2）若直线l与D相交于A，B两点，记点A，B到直线 $\text{[math]}$ 的距离分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．直线l与C相交于E，F两点，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  （ⅰ）证明： $\text{[math]}$ 的周长为定值；
  
  （ⅱ）求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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22. (2020·青岛模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）设函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ ；
3. （3）若数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．证明： $\text{[math]}$ ．
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