2023年中考数学精选真题实战测试33 直角三角形与勾股定...

更新时间：2023-01-26 浏览次数：84 类型：二轮复习

一、单选题（每题3分，共30分）

1. (2022·黄石) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，将正方形 $\text{[math]}$ 绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点 $\text{[math]}$ 的坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2022·镇江) 如图，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在网格中小正方形的顶点处， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，小正方形的边长为1，则 $\text{[math]}$ 的长等于（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2022·资阳) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的对角线交于点O，点E是直线 $\text{[math]}$ 上一动点．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2022·绵阳) 如图1，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为 $\text{[math]}$ ，则图象最低点E的坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023八下·嘉祥期中) 如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2022·河池) 如图，在Rt△ABC中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针旋转90°得到 $\text{[math]}$ .在此旋转过程中 $\text{[math]}$ 所扫过的面积为（）

A . 25π+24 B . 5π+24 C . 25π D . 5π

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7. 如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则点B到 $\text{[math]}$ 的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 2

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8. (2022·包头) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转得到 $\text{[math]}$ ，其中点 $\text{[math]}$ 与点A是对应点，点 $\text{[math]}$ 与点B是对应点．若点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 边上，则点A到直线 $\text{[math]}$ 的距离等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 3 D . 2

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9. (2022·黔东南) 如图，在边长为2的等边三角形 $\text{[math]}$ 的外侧作正方形 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2022·黔西) 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E， $\text{[math]}$ 轴，垂足为F．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．以下结论正确的个数是（）
① $\text{[math]}$ ；②AE平分 $\text{[math]}$ ；③点C的坐标为 $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤矩形ABCD的面积为 $\text{[math]}$ ．

A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个

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二、填空题（每空3分，共18分）

11. (2022·徐州) 如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝．

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12. (2022·鄂尔多斯) 如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝ $\text{[math]}$ ，则AB的长是．

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13. (2023·偃师模拟) 如图，菱形 $\text{[math]}$ 的边长为2， $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

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14. (2022·潍坊) 小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为．

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15. (2024八下·无为期中) 如图，菱形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 相交于点O，点E在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，点F为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长为．

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16. (2024九下·娄底期中) 如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝ $\text{[math]}$ ， CD＝2，则△ABE的面积为．

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三、解答题（共8题，共72分）

17. (2023八上·长沙月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且点D在线段 $\text{[math]}$ 上，连 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．
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18. (2022·资阳) 如图，在 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ ，过点C作 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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19. (2022·安顺) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的一点，以 $\text{[math]}$ 为直角边作等腰 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．
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20. (2022·湘西) 如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，连接CE并延长，交DA的延长线于点F．
1. （1）求证：△AEF≌△BEC．
2. （2）若CD＝4，∠F＝30°，求CF的长．
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21. (2022·青海) 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
1. （1）问题发现：
  如图1，若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证： $\text{[math]}$ ；
  图1
2. （2）解决问题：如图2，若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，点A，D，E在同一条直线上，CM为 $\text{[math]}$ 中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.
  图2
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22. (2022九上·南城期中) 下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 交正方形外角的平分线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．求证 $\text{[math]}$ ．（提示：取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．）
1. （1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：；
2. （2）如图1，若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上任意一点（不与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合），其他条件不变．求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）在（2）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为何值时，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，并给予证明．
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23. (2022九上·南城期中) 阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：
如图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等边三角形，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上.
求证：以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为边的三角形是钝角三角形.
1. （1）【探究发现】小明通过探究发现：连接 $\text{[math]}$ ，根据已知条件，可以证明 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，从而得出 $\text{[math]}$ 为钝角三角形，故以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为边的三角形是钝角三角形.
  请你根据小明的思路，写出完整的证明过程.
2. （2）【拓展迁移】如图，四边形 $\text{[math]}$ 和四边形 $\text{[math]}$ 都是正方形，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上.
  ①试猜想：以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为边的三角形的形状，并说明理由.
  ②若 $\text{[math]}$ ，试求出正方形 $\text{[math]}$ 的面积.
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24. (2022·盐城) 【经典回顾】
梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法图1是其中一种方法的示意图及部分辅助线．

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别是以 $\text{[math]}$ 的三边为一边的正方形．延长 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）证明：正方形 $\text{[math]}$ 的面积等于四边形 $\text{[math]}$ 的面积；
3. （3）请利用（2）中的结论证明勾股定理．
4. （4）【迁移拓展】
  如图2，四边形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别是以 $\text{[math]}$ 的两边为一边的平行四边形，探索在 $\text{[math]}$ 下方是否存在平行四边形 $\text{[math]}$ ，使得该平行四边形的面积等于平行四边形 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的面积之和．若存在，作出满足条件的平行四边形 $\text{[math]}$ （保留适当的作图痕迹）；若不存在，请说明理由．
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