湖南省益阳市六校2022-2023学年高二上学期数学期末联考...

更新时间：2023-03-08 浏览次数：58 类型：期末考试

一、单选题

1. (2023高二上·益阳期末) 已知向量 $\text{[math]}$ ，则它们的位置关系是（）

A . $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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2. (2022高二下·连云期中) 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两两垂直， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面 $\text{[math]}$ 的法向量的是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023高二上·益阳期末) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的公比为q，前n项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 8 B . 10 C . 12 D . 14

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4. (2023高二上·益阳期末) 如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）…，设第 $\text{[math]}$ 个图形的边长为 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高二上·沧州月考) 数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ，若其欧拉线的方程为 $\text{[math]}$ ，则顶点 $\text{[math]}$ 的坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023高二上·益阳期末) 已知定点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 上运动，则线段 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023高二上·益阳期末) 已知双曲线C： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是双曲线的左､右焦点， $\text{[math]}$ 是双曲线右支上一点连接 $\text{[math]}$ 交双曲线 $\text{[math]}$ 左支于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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8. (2023高二上·益阳期末) 已知F₁ ， F₂分别为双曲线C： $\text{[math]}$ 的左、右焦点，过F₂的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限）．设点H，G分别为△AF₁F₂ ， △BF₁F₂的内心，则|HG|的取值范围是

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2023高二上·益阳期末) 已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论中错误的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 是平面ABCD的法向量 D . $\text{[math]}$

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二、多选题

10. (2023高二上·益阳期末) 数列{an}的前n项和为Sn， $\text{[math]}$ ，则有（）

A . Sn＝3n^－¹ B . {Sn}为等比数列 C . an＝2·3n^－¹ D . $\text{[math]}$

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11. (2023高二上·益阳期末) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且渐近线方程为 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ C . 曲线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 的一个焦点 D . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有两个公共点

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12. (2023高二上·益阳期末) 定义点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的有向距离为 $\text{[math]}$ .已知点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的有向距离分别是 $\text{[math]}$ .以下命题不正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 平行 B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 垂直 C . 若 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 垂直 D . 若 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交

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三、填空题

13. (2023高二上·益阳期末) 如下图，以长方体 $\text{[math]}$ 的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的坐标为.

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14. (2023高二上·益阳期末) 在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为．

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15. (2024高二下·江西月考) 已知等差数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若在数列 $\text{[math]}$ 每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第 $\text{[math]}$ 项为．

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16. (2023高二上·益阳期末) 设抛物线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是抛物线的焦点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴正半轴上（异于 $\text{[math]}$ 点），动点 $\text{[math]}$ 在抛物线上，若 $\text{[math]}$ 是锐角，则 $\text{[math]}$ 的范围为．

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四、解答题

17. (2023高二上·益阳期末) 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为侧棱 $\text{[math]}$ 上的动点．
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）试判断直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否能够垂直．若能垂直，求 $\text{[math]}$ 的长；若不能垂直，请说明理由．
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18. (2023高二上·益阳期末) 设数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值.
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式.
3. （3）令 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ .
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19. (2023高二上·益阳期末) 已知各项都为正数的等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的通项公式 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的等比中项．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
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20. (2023高二上·益阳期末) 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．
1. （1）证明：直线l过定点；
2. （2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
3. （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
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21. (2023高二上·益阳期末) 已知圆C过点 $\text{[math]}$ ，且圆心C在直线 $\text{[math]}$ 上．
1. （1）求圆C的标准方程．
2. （2）设直线 $\text{[math]}$ 与圆C交于不同的两点A，B，是否存在实数a，使得过点 $\text{[math]}$ 的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
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22. (2023高二上·益阳期末) 已知椭圆C的离心率为 $\text{[math]}$ ，长轴的两个端点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆C交于M，N（不与A，B重合）两点，直线AM与直线 $\text{[math]}$ 交于点Q，求证： $\text{[math]}$ .
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